Номер 18.3, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.3. 1) $3^x \cdot 9^x < 81;$

2) $(\frac{1}{2})^{2x} \cdot (\frac{1}{8})^x > 32;$

3) $(\frac{5}{8})^{3x-1} < (2\frac{14}{25})^2;$

4) $(2,5)^{x+4} > (0,16)^{x-3}.$

1) $3^x \cdot 9^x < 81$

Чтобы решить это показательное неравенство, приведем все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 3.

Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$.

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$3^x \cdot (3^2)^x < 3^4$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим левую часть:

$3^x \cdot 3^{2x} < 3^4$

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{x+2x} < 3^4$

$3^{3x} < 3^4$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$3x < 4$

$x < \frac{4}{3}$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; \frac{4}{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3})$.

2) $(\frac{1}{2})^{2x} \cdot (\frac{1}{8})^x > 32$

Приведем все части неравенства к одному основанию, например, к основанию 2.

Преобразуем каждый член неравенства:

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$

$32 = 2^5$

Подставим эти выражения в неравенство:

$(2^{-1})^{2x} \cdot (2^{-3})^x > 2^5$

Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{-2x} \cdot 2^{-3x} > 2^5$

Применим свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{-2x - 3x} > 2^5$

$2^{-5x} > 2^5$

Основание степени $2 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$-5x > 5$

Разделим обе части на -5, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -1$

Решением является интервал $(-\infty; -1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

3) $(\frac{5}{8})^{3x-1} < (2\frac{14}{25})^2$

Приведем обе части неравенства к одному основанию.

Преобразуем правую часть неравенства. Сначала переведем смешанную дробь в неправильную:

$2\frac{14}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 14}{25} = \frac{50+14}{25} = \frac{64}{25}$

Теперь заметим, что $\frac{64}{25} = (\frac{8}{5})^2$.

Основание в правой части, $\frac{8}{5}$, является обратным к основанию в левой части, $\frac{5}{8}$. То есть $\frac{8}{5} = (\frac{5}{8})^{-1}$.

Подставим это в правую часть исходного неравенства:

$(2\frac{14}{25})^2 = ((\frac{8}{5})^2)^2 = ( ((\frac{5}{8})^{-1})^2 )^2 = (\frac{5}{8})^{-4}$

Теперь неравенство принимает вид:

$(\frac{5}{8})^{3x-1} < (\frac{5}{8})^{-4}$

Так как основание степени $\frac{5}{8}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$3x-1 > -4$

$3x > -4 + 1$

$3x > -3$

$x > -1$

Решением является интервал $(-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

4) $(2,5)^{x+4} > (0,16)^{x-3}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Для этого представим десятичные дроби в виде обыкновенных.

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$

Заметим, что $\frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$.

Основание $\frac{2}{5}$ является обратным к основанию $\frac{5}{2}$. То есть $\frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$.

Значит, $0,16 = \frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2 = ((\frac{5}{2})^{-1})^2 = (\frac{5}{2})^{-2}$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$(\frac{5}{2})^{x+4} > ((\frac{5}{2})^{-2})^{x-3}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части:

$(\frac{5}{2})^{x+4} > (\frac{5}{2})^{-2(x-3)}$

$(\frac{5}{2})^{x+4} > (\frac{5}{2})^{-2x+6}$

Так как основание степени $\frac{5}{2} = 2,5 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x+4 > -2x+6$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$x + 2x > 6 - 4$

$3x > 2$

$x > \frac{2}{3}$

Решением является интервал $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.