Номер 18.10, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.10.

1) $6 \cdot 5^{x+1} - 5^{x+2} + 6 \cdot 5^x > 55;$

2) $3 \cdot 2^{x+1} + 5 \cdot 2^x - 2^{x+2} < 14;$

3) $x^2 \cdot 3^x - 3^x > 0;$

4) $x^2 \cdot 4^x - 4^x < 0.$

1) Решим неравенство $6 \cdot 5^{x+1} - 5^{x+2} + 6 \cdot 5^x > 55$.

Сначала преобразуем степени так, чтобы привести их к одному основанию $5^x$:

$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$

$5^{x+2} = 5^x \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^x$

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное неравенство:

$6 \cdot (5 \cdot 5^x) - 25 \cdot 5^x + 6 \cdot 5^x > 55$

Упростим левую часть, выполнив умножение и сгруппировав слагаемые с $5^x$:

$30 \cdot 5^x - 25 \cdot 5^x + 6 \cdot 5^x > 55$

$(30 - 25 + 6) \cdot 5^x > 55$

$11 \cdot 5^x > 55$

Разделим обе части неравенства на 11:

$5^x > 5$

Так как $5 = 5^1$, неравенство принимает вид:

$5^x > 5^1$

Поскольку основание степени $5$ больше 1, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

2) Решим неравенство $3 \cdot 2^{2x+1} + 5 \cdot 2^{x} - 2^{x+2} \le 14$.

Преобразуем степени с переменной в показателе:

$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^x)^2$

$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$

Подставим преобразованные выражения в неравенство:

$3 \cdot (2 \cdot (2^x)^2) + 5 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^x \le 14$

$6 \cdot (2^x)^2 + (5-4) \cdot 2^x - 14 \le 0$

$6 \cdot (2^x)^2 + 2^x - 14 \le 0$

Введем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$6t^2 + t - 14 \le 0$

Для решения найдем корни уравнения $6t^2 + t - 14 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-14) = 1 + 336 = 337$

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{337}}{12}$.

Графиком функции $y=6t^2+t-14$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $6t^2 + t - 14 \le 0$ выполняется для $t$, находящихся между корнями:

$\frac{-1 - \sqrt{337}}{12} \le t \le \frac{-1 + \sqrt{337}}{12}$

Учитывая наше ограничение $t > 0$, получаем:

$0 < t \le \frac{-1 + \sqrt{337}}{12}$

Выполним обратную замену $t = 2^x$:

$0 < 2^x \le \frac{-1 + \sqrt{337}}{12}$

Левая часть неравенства $2^x > 0$ верна для всех $x$. Решим правую часть:

$2^x \le \frac{-1 + \sqrt{337}}{12}$

Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства не меняется:

$x \le \log_2\left(\frac{-1 + \sqrt{337}}{12}\right)$

Ответ: $x \in \left(-\infty, \log_2\left(\frac{-1 + \sqrt{337}}{12}\right)\right]$.

3) Решим неравенство $x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} > 0$.

Преобразуем $3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$ и подставим в неравенство:

$x^2 \cdot 3^x - 3 \cdot 3^x > 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(x^2 - 3) > 0$

Поскольку показательная функция $3^x$ всегда положительна ($3^x > 0$ для всех $x$), мы можем разделить обе части неравенства на $3^x$ без изменения знака:

$x^2 - 3 > 0$

Перенесем 3 в правую часть:

$x^2 > 3$

Это неравенство выполняется, когда $|x| > \sqrt{3}$, то есть $x > \sqrt{3}$ или $x < -\sqrt{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.

4) Решим неравенство $x^2 \cdot 4^x - 4^{x+1} < 0$.

Преобразуем $4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 = 4 \cdot 4^x$ и подставим в неравенство:

$x^2 \cdot 4^x - 4 \cdot 4^x < 0$

Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$4^x(x^2 - 4) < 0$

Поскольку показательная функция $4^x$ всегда положительна ($4^x > 0$ для всех $x$), мы можем разделить обе части неравенства на $4^x$ без изменения знака:

$x^2 - 4 < 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$x^2 < 4$

Это неравенство выполняется, когда $|x| < 2$, то есть $-2 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-2, 2)$.