Номер 19.1, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите неравенства (19.1–19.5):

19.1. 1) $log_4 x > 2$;

2) $log_{1/2} x < -3$;

3) $lg x > -2$;

4) $ln x < 1$.

1) Исходное неравенство: $\log_4 x > 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Теперь решим само неравенство. Представим число 2 в виде логарифма с основанием 4:

$2 = 2 \cdot \log_4 4 = \log_4 (4^2) = \log_4 16$.

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_4 x > \log_4 16$.

Так как основание логарифма $a=4$ больше единицы ($4 > 1$), логарифмическая функция $y = \log_4 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$x > 16$.

Полученное решение $x > 16$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (16; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{2}} x < -3$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Представим число -3 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$:

$-3 = -3 \cdot \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-3}) = \log_{\frac{1}{2}} (2^3) = \log_{\frac{1}{2}} 8$.

Подставим в неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} 8$.

Так как основание логарифма $a=\frac{1}{2}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 8$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $\lg x > -2$.

Выражение $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Представим число -2 в виде десятичного логарифма:

$-2 = \lg(10^{-2}) = \lg(0.01)$.

Неравенство принимает вид:

$\lg x > \lg(0.01)$.

Основание десятичного логарифма $a=10$ больше единицы ($10 > 1$), поэтому функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$x > 0.01$.

Решение $x > 0.01$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (0.01; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $\ln x < 1$.

Выражение $\ln x$ обозначает натуральный логарифм, то есть $\log_e x$, где $e \approx 2.718$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Представим число 1 в виде натурального логарифма:

$1 = \ln(e^1) = \ln e$.

Неравенство принимает вид:

$\ln x < \ln e$.

Основание натурального логарифма $e$ больше единицы ($e > 1$), поэтому функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$x < e$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Объединяем полученное решение $x < e$ с условием $x > 0$:

$0 < x < e$.

Ответ: $x \in (0; e)$.