Номер 19.4, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.4. 1) $\text{log}_{0.4} (2x - 5) > \text{log}_{0.4} (x + 1)$;

2) $\text{log}_4 (3x - 1) < \text{log}_4 (2x + 3)$;

3) $\text{log}_3 \frac{2 - 3x}{x} > -1$;

4) $\text{log}_{\frac{1}{2}} (3x - 4) < \text{log}_{\frac{1}{2}} (x - 2)$.

1) $ \log_{0,4}(2x - 5) > \log_{0,4}(x + 1) $

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Так как основание логарифма $0,4 < 1$, то при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), где оба подлогарифмических выражения должны быть строго больше нуля.

Составим систему:

$ \begin{cases} 2x - 5 < x + 1 \\ 2x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $ 2x - x < 1 + 5 \implies x < 6 $

2. $ 2x > 5 \implies x > 2,5 $

3. $ x > -1 $

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:

$ \begin{cases} x < 6 \\ x > 2,5 \\ x > -1 \end{cases} \implies 2,5 < x < 6 $

Решением неравенства является интервал $ (2,5; 6) $.

Ответ: $ x \in (2,5; 6) $

2) $ \log_{4}(3x - 1) < \log_{4}(2x + 3) $

Основание логарифма $4 > 1$, поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется. Учтем ОДЗ.

Составим систему:

$ \begin{cases} 3x - 1 < 2x + 3 \\ 3x - 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $ 3x - 2x < 3 + 1 \implies x < 4 $

2. $ 3x > 1 \implies x > \frac{1}{3} $

3. $ 2x > -3 \implies x > -1,5 $

Найдем пересечение решений:

$ \begin{cases} x < 4 \\ x > \frac{1}{3} \\ x > -1,5 \end{cases} \implies \frac{1}{3} < x < 4 $

Решением неравенства является интервал $ (\frac{1}{3}; 4) $.

Ответ: $ x \in (\frac{1}{3}; 4) $

3) $ \log_{3}\frac{2 - 3x}{x} > -1 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ \frac{2 - 3x}{x} > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ 2 - 3x = 0 \implies x = \frac{2}{3} $. Нуль знаменателя: $ x = 0 $. На числовой прямой отмечаем точки 0 и $ \frac{2}{3} $. Интервалы: $ (-\infty; 0) $, $ (0; \frac{2}{3}) $, $ (\frac{2}{3}; +\infty) $. Проверяем знаки: минус, плюс, минус. Нам нужен интервал, где выражение больше нуля, то есть $ 0 < x < \frac{2}{3} $.

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:

$ -1 = \log_{3}(3^{-1}) = \log_{3}\frac{1}{3} $

Получаем неравенство:

$ \log_{3}\frac{2 - 3x}{x} > \log_{3}\frac{1}{3} $

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$ \frac{2 - 3x}{x} > \frac{1}{3} $

$ \frac{2 - 3x}{x} - \frac{1}{3} > 0 $

$ \frac{3(2 - 3x) - x}{3x} > 0 $

$ \frac{6 - 9x - x}{3x} > 0 $

$ \frac{6 - 10x}{3x} > 0 $

Решаем методом интервалов. Нули: $ 6 - 10x = 0 \implies x = 0,6 $; $ 3x = 0 \implies x = 0 $. Интервалы: $ (-\infty; 0) $, $ (0; 0,6) $, $ (0,6; +\infty) $. Знаки: минус, плюс, минус. Решение: $ 0 < x < 0,6 $.

Найдем пересечение решения $ 0 < x < 0,6 $ с ОДЗ $ 0 < x < \frac{2}{3} $. Так как $ 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $ и $ \frac{2}{3} = \frac{10}{15} $, а $ \frac{3}{5} = \frac{9}{15} $, то $ 0,6 < \frac{2}{3} $. Пересечением является интервал $ (0; 0,6) $.

Ответ: $ x \in (0; 0,6) $

4) $ \log_{\frac{1}{2}}(3x - 4) < \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) $

Основание логарифма $ \frac{1}{2} < 1 $, поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Составим систему:

$ \begin{cases} 3x - 4 > x - 2 \\ 3x - 4 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $ 3x - x > 4 - 2 \implies 2x > 2 \implies x > 1 $

2. $ 3x > 4 \implies x > \frac{4}{3} $

3. $ x > 2 $

Найдем пересечение решений. Неравенство $ x > 2 $ является самым сильным.

$ \begin{cases} x > 1 \\ x > \frac{4}{3} \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2 $

Решением неравенства является интервал $ (2; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (2; +\infty) $