Номер 19.8, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите неравенства (19.8–19.11):

19.8. 1) $log_{2}x > log_{2}(3-x)$;

2) $\lg x + \lg(x-1) < \lg 6$;

3) $\lg^2 x + 2\lg x > 3$;

4) $\log_{0.5}x > -6 + \log_{0.5}^2 x.$

1) $log_2 x > log_2(3 - x)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\begin{cases} x > 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 3 \end{cases} \implies 0 < x < 3$.

ОДЗ: $x \in (0; 3)$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x > 3 - x$

$2x > 3$

$x > 1.5$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 1.5 \\ 0 < x < 3 \end{cases} \implies 1.5 < x < 3$.

Ответ: $(1.5; 3)$.

2) $lg x + lg(x - 1) < lg 6$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$.

ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Используем свойство логарифмов (сумма логарифмов равна логарифму произведения):

$lg(x(x - 1)) < lg 6$

$lg(x^2 - x) < lg 6$

Основание десятичного логарифма $10 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$x^2 - x < 6$

$x^2 - x - 6 < 0$

Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-2 < x < 3$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} -2 < x < 3 \\ x > 1 \end{cases} \implies 1 < x < 3$.

Ответ: $(1; 3)$.

3) $lg^2 x + 2lg x > 3$

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = lg x$. Неравенство примет вид:

$t^2 + 2t > 3$

$t^2 + 2t - 3 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 2t - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Парабола $y = t^2 + 2t - 3$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется вне интервала между корнями:

$t < -3$ или $t > 1$.

Выполним обратную замену:

1) $lg x < -3 \implies lg x < lg(10^{-3})$. Так как основание $10 > 1$, то $x < 10^{-3}$, то есть $x < 0.001$.

2) $lg x > 1 \implies lg x > lg(10^1)$. Так как основание $10 > 1$, то $x > 10$.

Учтем ОДЗ ($x > 0$):

1) $\begin{cases} x < 0.001 \\ x > 0 \end{cases} \implies 0 < x < 0.001$.

2) $\begin{cases} x > 10 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 10$.

Объединяя эти решения, получаем итоговый интервал.

Ответ: $(0; 0.001) \cup (10; +\infty)$.

4) $log_{0.5} x > -6 + log_{0.5}^2 x$

ОДЗ: $x > 0$.

Перенесем все члены в одну сторону и сделаем замену. Пусть $t = log_{0.5} x$.

$t > -6 + t^2$

$-t^2 + t + 6 > 0$

$t^2 - t - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. Корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 - t - 6$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-2 < t < 3$.

Выполним обратную замену:

$-2 < log_{0.5} x < 3$

Представим числа $-2$ и $3$ в виде логарифмов с основанием $0.5$:

$-2 = log_{0.5}(0.5^{-2}) = log_{0.5}(4)$

$3 = log_{0.5}(0.5^3) = log_{0.5}(0.125)$

Получаем двойное неравенство:

$log_{0.5}(4) < log_{0.5} x < log_{0.5}(0.125)$

Так как основание логарифма $0.5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знаки неравенства меняются на противоположные:

$4 > x > 0.125$

Что то же самое, что $0.125 < x < 4$.

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(0.125; 4)$.