Страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите системы неравенств (19.6—19.7):

19.6.1)

$\begin{cases} x - 18 < 0, \\ \log_3 x > 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \log_{1/3} x < -2, \\ |x+1| > 3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \ln x > 0, \\ 5 - x < 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \lg x < 1, \\ x + 7 > 0. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x-18 < 0, \\ \log_3 x > 1; \end{cases} $. Из первого неравенства $x-18 < 0$ следует, что $x < 18$. Для второго неравенства $\log_3 x > 1$ сначала определим область допустимых значений: $x > 0$. Теперь решим само неравенство. Представим $1$ в виде логарифма по основанию $3$: $1 = \log_3 3$. Получаем $\log_3 x > \log_3 3$. Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $x > 3$. Теперь найдем пересечение решений: $x < 18$, $x > 0$ и $x > 3$. Объединив условия, получаем $3 < x < 18$.

Ответ: $(3, 18)$.

2) Решим систему неравенств $ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} x < -2, \\ |x+1| > 3; \end{cases} $. Для первого неравенства $\log_{\frac{1}{3}} x < -2$ область допустимых значений: $x > 0$. Представим $-2$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$: $-2 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 9$. Получаем неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 9$. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $x > 9$. Второе неравенство $|x+1| > 3$ распадается на два случая: $x+1 > 3$ или $x+1 < -3$. Из $x+1 > 3$ следует $x > 2$. Из $x+1 < -3$ следует $x < -4$. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$. Теперь найдем пересечение решений системы: $x > 9$ и $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$. Общим решением является $x > 9$.

Ответ: $(9, \infty)$.

3) Решим систему неравенств $ \begin{cases} \ln x > 0, \\ 5-x < 0; \end{cases} $. Из первого неравенства $\ln x > 0$ (натуральный логарифм, основание $e > 1$) следует, что $x > e^0$, то есть $x > 1$. Область определения $x>0$ выполняется. Из второго неравенства $5-x < 0$ следует, что $5 < x$, или $x > 5$. Найдем пересечение решений $x > 1$ и $x > 5$. Общим решением системы является $x > 5$.

Ответ: $(5, \infty)$.

4) Решим систему неравенств $ \begin{cases} \lg x < 1, \\ x+7 > 0. \end{cases} $. Для первого неравенства $\lg x < 1$ (десятичный логарифм, основание $10 > 1$) сначала определим область допустимых значений: $x > 0$. Решим неравенство: $\lg x < \lg 10^1$, откуда $x < 10$. С учетом области определения, решение первого неравенства: $0 < x < 10$. Из второго неравенства $x+7 > 0$ следует, что $x > -7$. Найдем пересечение решений $0 < x < 10$ и $x > -7$. Общим решением системы является интервал $0 < x < 10$.

Ответ: $(0, 10)$.

19.7. 1) $\begin{cases} x+3 > 0, \\ \log_{\frac{1}{2}} x > -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 8-x > 0, \\ \log_{5} x < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \log_{0.7} x < 1, \\ x - 0.3 > 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 9-x < 0, \\ \log_{\frac{1}{6}} x > -1. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x+3 > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} x > -1 \end{cases} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Теперь решим первое неравенство системы:

$x+3 > 0 \implies x > -3$.

Далее решим второе неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}} x > -1$.

Представим правую часть в виде логарифма с таким же основанием:

$-1 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-1} = \log_{\frac{1}{2}} 2$.

Получаем неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}} x > \log_{\frac{1}{2}} 2$.

Так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$.

Теперь необходимо найти пересечение всех полученных условий:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x > -3 \\ x < 2 \end{cases} $

Объединяя условия $x > 0$ и $x > -3$, получаем более сильное условие $x > 0$. Таким образом, система сводится к $0 < x < 2$.

Решением является интервал $(0; 2)$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 8-x > 0 \\ \log_{5} x < 2 \end{cases} $.

ОДЗ для логарифма: $x > 0$.

Решим первое неравенство:

$8-x > 0 \implies x < 8$.

Решим второе неравенство:

$\log_{5} x < 2$.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 5:

$2 = \log_{5} 5^2 = \log_{5} 25$.

Получаем неравенство:

$\log_{5} x < \log_{5} 25$.

Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$x < 25$.

Найдем пересечение всех условий:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x < 8 \\ x < 25 \end{cases} $

Объединяя условия $x < 8$ и $x < 25$, получаем более сильное условие $x < 8$. Таким образом, система сводится к $0 < x < 8$.

Решением является интервал $(0; 8)$.

Ответ: $x \in (0; 8)$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \log_{0.7} x < 1 \\ x - 0.3 > 0 \end{cases} $.

ОДЗ для логарифма: $x > 0$.

Решим первое неравенство:

$\log_{0.7} x < 1$.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0.7:

$1 = \log_{0.7} 0.7$.

Получаем неравенство:

$\log_{0.7} x < \log_{0.7} 0.7$.

Так как основание логарифма $0.7 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 0.7$.

Решим второе неравенство:

$x - 0.3 > 0 \implies x > 0.3$.

Найдем пересечение всех условий:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x > 0.7 \\ x > 0.3 \end{cases} $

Пересечением этих трех условий является наиболее сильное из них: $x > 0.7$.

Решением является интервал $(0.7; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0.7; +\infty)$.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 9-x < 0 \\ \log_{\frac{1}{6}} x > -1 \end{cases} $.

ОДЗ для логарифма: $x > 0$.

Решим первое неравенство:

$9-x < 0 \implies 9 < x \implies x > 9$.

Решим второе неравенство:

$\log_{\frac{1}{6}} x > -1$.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{6}$:

$-1 = \log_{\frac{1}{6}} (\frac{1}{6})^{-1} = \log_{\frac{1}{6}} 6$.

Получаем неравенство:

$\log_{\frac{1}{6}} x > \log_{\frac{1}{6}} 6$.

Так как основание логарифма $\frac{1}{6} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 6$.

Найдем пересечение всех условий:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x > 9 \\ x < 6 \end{cases} $

Условия $x > 9$ и $x < 6$ являются взаимоисключающими. Не существует числа, которое одновременно больше 9 и меньше 6. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Решите неравенства (19.8–19.11):

19.8. 1) $log_{2}x > log_{2}(3-x)$;

2) $\lg x + \lg(x-1) < \lg 6$;

3) $\lg^2 x + 2\lg x > 3$;

4) $\log_{0.5}x > -6 + \log_{0.5}^2 x.$

1) $log_2 x > log_2(3 - x)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\begin{cases} x > 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 3 \end{cases} \implies 0 < x < 3$.

ОДЗ: $x \in (0; 3)$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x > 3 - x$

$2x > 3$

$x > 1.5$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 1.5 \\ 0 < x < 3 \end{cases} \implies 1.5 < x < 3$.

Ответ: $(1.5; 3)$.

2) $lg x + lg(x - 1) < lg 6$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$.

ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Используем свойство логарифмов (сумма логарифмов равна логарифму произведения):

$lg(x(x - 1)) < lg 6$

$lg(x^2 - x) < lg 6$

Основание десятичного логарифма $10 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$x^2 - x < 6$

$x^2 - x - 6 < 0$

Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-2 < x < 3$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} -2 < x < 3 \\ x > 1 \end{cases} \implies 1 < x < 3$.

Ответ: $(1; 3)$.

3) $lg^2 x + 2lg x > 3$

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = lg x$. Неравенство примет вид:

$t^2 + 2t > 3$

$t^2 + 2t - 3 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 2t - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Парабола $y = t^2 + 2t - 3$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется вне интервала между корнями:

$t < -3$ или $t > 1$.

Выполним обратную замену:

1) $lg x < -3 \implies lg x < lg(10^{-3})$. Так как основание $10 > 1$, то $x < 10^{-3}$, то есть $x < 0.001$.

2) $lg x > 1 \implies lg x > lg(10^1)$. Так как основание $10 > 1$, то $x > 10$.

Учтем ОДЗ ($x > 0$):

1) $\begin{cases} x < 0.001 \\ x > 0 \end{cases} \implies 0 < x < 0.001$.

2) $\begin{cases} x > 10 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 10$.

Объединяя эти решения, получаем итоговый интервал.

Ответ: $(0; 0.001) \cup (10; +\infty)$.

4) $log_{0.5} x > -6 + log_{0.5}^2 x$

ОДЗ: $x > 0$.

Перенесем все члены в одну сторону и сделаем замену. Пусть $t = log_{0.5} x$.

$t > -6 + t^2$

$-t^2 + t + 6 > 0$

$t^2 - t - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. Корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 - t - 6$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-2 < t < 3$.

Выполним обратную замену:

$-2 < log_{0.5} x < 3$

Представим числа $-2$ и $3$ в виде логарифмов с основанием $0.5$:

$-2 = log_{0.5}(0.5^{-2}) = log_{0.5}(4)$

$3 = log_{0.5}(0.5^3) = log_{0.5}(0.125)$

Получаем двойное неравенство:

$log_{0.5}(4) < log_{0.5} x < log_{0.5}(0.125)$

Так как основание логарифма $0.5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знаки неравенства меняются на противоположные:

$4 > x > 0.125$

Что то же самое, что $0.125 < x < 4$.

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(0.125; 4)$.

19.9. 1) $log_3(11 + 4^x) > 3;$

2) $log_{\frac{1}{5}}(22 + 3^x) > -2;$

3) $lg(x^2 - 1) < 0;$

4) $lg(1 - x^2) > 0.$

1) Решим неравенство $ \log_3(11 + 4^x) > 3 $.

По определению логарифма, выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $ 11 + 4^x > 0 $. Поскольку $ 4^x > 0 $ для любого действительного $ x $, это неравенство выполняется всегда. Область допустимых значений (ОДЗ) — все действительные числа, $ x \in R $.

Основание логарифма $ 3 > 1 $, поэтому при переходе от логарифмов к выражениям под ними знак неравенства сохраняется.

$ 11 + 4^x > 3^3 $

$ 11 + 4^x > 27 $

$ 4^x > 27 - 11 $

$ 4^x > 16 $

Представим $ 16 $ как степень с основанием $ 4 $:

$ 4^x > 4^2 $

Так как основание степени $ 4 > 1 $, переходим к неравенству для показателей степеней, сохраняя знак:

$ x > 2 $

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ (2; +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{5}}(22 + 3^x) > -2 $.

ОДЗ: $ 22 + 3^x > 0 $. Это неравенство выполняется для всех $ x \in R $, так как $ 3^x > 0 $.

Основание логарифма $ a = \frac{1}{5} $, и $ 0 < a < 1 $. Поэтому при переходе от логарифмов к выражениям под ними знак неравенства меняется на противоположный.

$ 22 + 3^x < \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} $

$ 22 + 3^x < (5^{-1})^{-2} $

$ 22 + 3^x < 5^2 $

$ 22 + 3^x < 25 $

$ 3^x < 25 - 22 $

$ 3^x < 3 $

$ 3^x < 3^1 $

Так как основание степени $ 3 > 1 $, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$ x < 1 $

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ (-\infty; 1) $.

3) Решим неравенство $ \lg(x^2 - 1) < 0 $.

Здесь $ \lg $ — это десятичный логарифм, то есть $ \log_{10} $.

ОДЗ: $ x^2 - 1 > 0 $. Разложим на множители: $ (x - 1)(x + 1) > 0 $. Решением этого неравенства является объединение интервалов $ x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) $.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма: $ 0 = \lg(1) $.

$ \lg(x^2 - 1) < \lg(1) $

Основание логарифма $ 10 > 1 $, поэтому знак неравенства сохраняется.

$ x^2 - 1 < 1 $

$ x^2 - 2 < 0 $

Разложим на множители: $ (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) < 0 $.

Решением этого неравенства является интервал $ x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) $.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $ ((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)) \cap (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) $.

Пересечением является $ (-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}) $.

Ответ: $ (-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}) $.

4) Решим неравенство $ \lg(1 - x^2) > 0 $.

ОДЗ: $ 1 - x^2 > 0 $. Это равносильно $ x^2 < 1 $, откуда следует $ -1 < x < 1 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-1; 1) $.

Представим правую часть неравенства как $ 0 = \lg(1) $.

$ \lg(1 - x^2) > \lg(1) $

Основание логарифма $ 10 > 1 $, поэтому знак неравенства сохраняется.

$ 1 - x^2 > 1 $

$ -x^2 > 0 $

$ x^2 < 0 $

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поэтому неравенство $ x^2 < 0 $ не имеет решений.

Следовательно, исходное неравенство также не имеет решений.

Ответ: $ \text{нет решений} $.

19.10. 1) $\log_5 (x^2 - 3) > 0;$

2) $\log_8 (-9 + x^2) > 0;$

3) $\log_4 \frac{2x - 1}{x + 1} > \log_4 3;$

4) $\lg \frac{3 - x}{x + 2} < 1.$

1) $\log_5(x^2 - 3) > 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 3 > 0$

$x^2 > 3$

$|x| > \sqrt{3}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

Теперь решим само неравенство. Представим 0 в виде логарифма по основанию 5:

$0 = \log_5(1)$

$\log_5(x^2 - 3) > \log_5(1)$

Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 3 > 1$

$x^2 - 4 > 0$

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Так как $2 > \sqrt{3}$ и $-2 < -\sqrt{3}$, то решение $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ полностью удовлетворяет ОДЗ $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$. Следовательно, найденное решение и является окончательным ответом.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

2) $\log_8(-9 + x^2) > 0$

Перепишем неравенство в более привычном виде: $\log_8(x^2 - 9) > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что аргумент логарифма положителен:

$x^2 - 9 > 0$

$(x - 3)(x + 3) > 0$

ОДЗ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Решаем неравенство. Представим 0 как $\log_8(1)$:

$\log_8(x^2 - 9) > \log_8(1)$

Основание логарифма $8 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 9 > 1$

$x^2 - 10 > 0$

$(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) > 0$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}, \infty)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ. Сравним $\sqrt{10}$ и $3$. Так как $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$. Соответственно, $-\sqrt{10} < -3$.

Интервал $(-\infty, -\sqrt{10})$ является подмножеством интервала $(-\infty, -3)$.

Интервал $(\sqrt{10}, \infty)$ является подмножеством интервала $(3, \infty)$.

Таким образом, пересечение совпадает с найденным решением.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}, \infty)$.

3) $\log_4 \frac{2x - 1}{x + 1} > \log_4 3$

Найдем ОДЗ из условия положительности аргумента логарифма:

$\frac{2x - 1}{x + 1} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = 1/2$ и $x = -1$. На числовой прямой это дает интервалы $(-\infty, -1)$, $(-1, 1/2)$ и $(1/2, \infty)$. Проверяя знаки на интервалах, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1/2, \infty)$.

Теперь решаем основное неравенство. Так как основание логарифма $4 > 1$, знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$\frac{2x - 1}{x + 1} > 3$

$\frac{2x - 1}{x + 1} - 3 > 0$

$\frac{2x - 1 - 3(x + 1)}{x + 1} > 0$

$\frac{2x - 1 - 3x - 3}{x + 1} > 0$

$\frac{-x - 4}{x + 1} > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{x + 4}{x + 1} < 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = -4$ и $x = -1$. Неравенство верно на интервале $(-4, -1)$.

Найдем пересечение решения $x \in (-4, -1)$ с ОДЗ $x \in (-\infty, -1) \cup (1/2, \infty)$.

Пересечением является интервал $(-4, -1)$.

Ответ: $x \in (-4, -1)$.

4) $\lg \frac{3 - x}{x + 2} < 1$

Десятичный логарифм $\lg$ имеет основание 10. Найдем ОДЗ:

$\frac{3 - x}{x + 2} > 0$

$\frac{-(x - 3)}{x + 2} > 0$

$\frac{x - 3}{x + 2} < 0$

Методом интервалов получаем ОДЗ: $x \in (-2, 3)$.

Теперь решаем неравенство. Представим 1 как $\lg 10$:

$\lg \frac{3 - x}{x + 2} < \lg 10$

Так как основание $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{3 - x}{x + 2} < 10$

$\frac{3 - x}{x + 2} - 10 < 0$

$\frac{3 - x - 10(x + 2)}{x + 2} < 0$

$\frac{3 - x - 10x - 20}{x + 2} < 0$

$\frac{-11x - 17}{x + 2} < 0$

Умножим на -1 и сменим знак:

$\frac{11x + 17}{x + 2} > 0$

Нули числителя и знаменателя: $x = -17/11$ и $x = -2$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2) \cup (-17/11, \infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (-2, 3)$.

Пересекая $(-\infty, -2) \cup (-17/11, \infty)$ с $(-2, 3)$, получаем интервал $(-17/11, 3)$.

Ответ: $x \in (-17/11, 3)$.

19.11. 1)

$1)\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)} > 1;$

$2)2^{\log_2(x^2-1)} < 2;$

$3)\left(\frac{1}{6}\right)^{\log_{\frac{1}{6}}(x-1)} > 7^{\log_7(2-x)};$

$4)0.9^{\log_{0.9}(x^2+x)} < 6^{\log_6(x+3)}.$

1) Дано неравенство $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 1)} > 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$x^2 - 1 > 0$

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Теперь воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$ для левой части неравенства. В нашем случае $a=\frac{1}{2}$ и $b=x^2-1$.

Неравенство принимает вид:

$x^2 - 1 > 1$

$x^2 - 2 > 0$

$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение этого решения с ОДЗ. Так как $-\sqrt{2} \approx -1.414$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-\sqrt{2} < -1$ и $\sqrt{2} > 1$. Это означает, что интервалы $(-\infty, -\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}, \infty)$ полностью входят в ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

2) Дано неравенство $2^{\log_2(x^2 - 1)} < 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) та же, что и в предыдущем задании, так как аргумент логарифма тот же:

$x^2 - 1 > 0 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к левой части:

$x^2 - 1 < 2$

$x^2 - 3 < 0$

$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0$

Решением этого квадратного неравенства является интервал $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Нам нужно найти общие точки для интервалов $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ и $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Учитывая, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, пересечением будут интервалы $(-\sqrt{3}, -1)$ и $(1, \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}, -1) \cup (1, \sqrt{3})$.

3) Дано неравенство $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}}(x - 1)} > 7^{\log_7(2 - x)}$.

Определим ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 2 - x > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует $x > 1$, из второго $x < 2$.

ОДЗ: $x \in (1, 2)$.

Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к обеим частям неравенства:

$x - 1 > 2 - x$

$x + x > 2 + 1$

$2x > 3$

$x > \frac{3}{2}$ или $x > 1.5$.

Теперь найдем пересечение решения $x > 1.5$ с ОДЗ $x \in (1, 2)$.

Общим решением будет интервал $(\frac{3}{2}, 2)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}, 2)$.

4) Дано неравенство $0.9^{\log_{0.9}(x^2 + x)} < 6^{\log_6(x+3)}$.

Найдем ОДЗ из системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 + x > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $x(x+1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Решаем второе неравенство: $x > -3$.

Пересекая эти два множества, получаем ОДЗ: $x \in (-3, -1) \cup (0, \infty)$.

Упростим исходное неравенство, применив основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к обеим частям:

$x^2 + x < x + 3$

$x^2 < 3$

$x^2 - 3 < 0$

$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0$

Решением является интервал $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-3, -1) \cup (0, \infty)$.

Пересечение интервала $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ с множеством $(-3, -1) \cup (0, \infty)$ дает два интервала: $(-\sqrt{3}, -1)$ и $(0, \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}, -1) \cup (0, \sqrt{3})$.

Решите системы неравенств (19.12–19.13):

19.12. 1) $\begin{cases} \log_{0.2}(x + 1) > -1, \\ 2x - 1 < 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \lg(1 - x) < 1, \\ 3 - x < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \ln(x + 5) < 0, \\ x + 15 > 6x; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 11x + 12 > 13x, \\ \log_7 (31 - 2x) < 1. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:$\begin{cases} \log_{0.2}(x+1) > -1, \\ 2x-1 < 5\end{cases}$

Решим первое неравенство: $\log_{0.2}(x+1) > -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, т.е. $x+1 > 0$, откуда $x > -1$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $-1 = \log_{0.2}(0.2^{-1}) = \log_{0.2}(5)$.

Получаем неравенство: $\log_{0.2}(x+1) > \log_{0.2}(5)$.

Так как основание логарифма $0.2$ меньше 1 ($0 < 0.2 < 1$), при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x+1 < 5$

$x < 4$

С учетом ОДЗ ($x > -1$), получаем решение первого неравенства: $-1 < x < 4$, что соответствует интервалу $x \in (-1, 4)$.

Решим второе неравенство: $2x-1 < 5$.

$2x < 5+1$

$2x < 6$

$x < 3$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть интервалов $(-1, 4)$ и $(-\infty, 3)$.

Пересечением является интервал $(-1, 3)$.

Ответ: $x \in (-1, 3)$.

2) Решим систему неравенств:$\begin{cases} \lg(1-x) < 1, \\ 3-x < 2\end{cases}$

Решим первое неравенство: $\lg(1-x) < 1$.

ОДЗ: $1-x > 0$, откуда $x < 1$.

$\lg(1-x)$ — это десятичный логарифм $\log_{10}(1-x)$. Основание $10 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

Представим $1$ как $\lg(10)$.

$\lg(1-x) < \lg(10)$

$1-x < 10$

$-x < 9$

$x > -9$

С учетом ОДЗ ($x < 1$), решение первого неравенства: $-9 < x < 1$, или $x \in (-9, 1)$.

Решим второе неравенство: $3-x < 2$.

$-x < 2-3$

$-x < -1$

$x > 1$

Решение второго неравенства: $x \in (1, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-9, 1) \cap (1, \infty)$.

Множества не пересекаются, так как нет чисел, которые одновременно меньше 1 и больше 1.

Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).

3) Решим систему неравенств:$\begin{cases} \ln(x+5) < 0, \\ x+15 > 6x\end{cases}$

Решим первое неравенство: $\ln(x+5) < 0$.

ОДЗ: $x+5 > 0$, откуда $x > -5$.

$\ln(x+5)$ — это натуральный логарифм $\log_e(x+5)$. Основание $e \approx 2.718 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

Представим $0$ как $\ln(1)$.

$\ln(x+5) < \ln(1)$

$x+5 < 1$

$x < -4$

С учетом ОДЗ ($x > -5$), решение первого неравенства: $-5 < x < -4$, или $x \in (-5, -4)$.

Решим второе неравенство: $x+15 > 6x$.

$15 > 6x-x$

$15 > 5x$

$3 > x$, или $x < 3$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-5, -4) \cap (-\infty, 3)$.

Пересечением является интервал $(-5, -4)$.

Ответ: $x \in (-5, -4)$.

4) Решим систему неравенств:$\begin{cases} 11x+12 > 13x, \\ \log_7(31-2x) < 1\end{cases}$

Решим первое неравенство: $11x+12 > 13x$.

$12 > 13x-11x$

$12 > 2x$

$6 > x$, или $x < 6$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 6)$.

Решим второе неравенство: $\log_7(31-2x) < 1$.

ОДЗ: $31-2x > 0$, откуда $2x < 31$, т.е. $x < 15.5$.

Основание логарифма $7 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

Представим $1$ как $\log_7(7)$.

$\log_7(31-2x) < \log_7(7)$

$31-2x < 7$

$-2x < 7-31$

$-2x < -24$

$x > 12$

С учетом ОДЗ ($x < 15.5$), решение второго неравенства: $12 < x < 15.5$, или $x \in (12, 15.5)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, 6) \cap (12, 15.5)$.

Множества не пересекаются, так как нет чисел, которые одновременно меньше 6 и больше 12.

Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).

19.13. 1) $\begin{cases} x^2 - 4 > 0, \\ \log_{\frac{1}{7}} (x+2) \leq -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 9 > 0, \\ \log_2 (x-3) < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \log_{81} (x+2) > \frac{1}{2} \\ 36 - x^2 > 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \log_3 (x-5) < 1, \\ x^2 - 16 > 0. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:$\begin{cases}x^2 - 4 \ge 0, \\\log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le -1.\end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$.

Разложив на множители левую часть, получаем: $(x-2)(x+2) \ge 0$.

Корнями соответствующего уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство выполняется при $x$ вне отрезка между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $\log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le -1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под логарифмом должно быть строго положительным.

$x+2 > 0 \implies x > -2$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $-1 = \log_{\frac{1}{7}}((\frac{1}{7})^{-1}) = \log_{\frac{1}{7}}(7)$.

Получаем неравенство: $\log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le \log_{\frac{1}{7}}(7)$.

Так как основание логарифма $\frac{1}{7}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{7} < 1$), при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x+2 \ge 7 \implies x \ge 5$.

Объединим все условия: решение первого неравенства, решение второго и ОДЗ.

$x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$

$x \ge 5$

$x > -2$

Пересечением этих трех условий является промежуток $x \ge 5$.

Ответ: $x \in [5, +\infty)$.

2) Решим систему неравенств:$\begin{cases}x^2 - 9 \ge 0, \\\log_2(x-3) \le 2.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 9 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-3)(x+3) \ge 0$.

Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\log_2(x-3) \le 2$.

ОДЗ: $x-3 > 0 \implies x > 3$.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2: $2 = \log_2(2^2) = \log_2(4)$.

Получаем: $\log_2(x-3) \le \log_2(4)$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x-3 \le 4 \implies x \le 7$.

Найдем пересечение решений.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

Решение второго неравенства с учетом ОДЗ: $x \in (3, 7]$.

Пересечение множеств $((-\infty, -3] \cup [3, +\infty))$ и $(3, 7]$ дает промежуток $(3, 7]$.

Ответ: $x \in (3, 7]$.

3) Решим систему неравенств:$\begin{cases}\log_{81}(x+2) > \frac{1}{2}, \\36 - x^2 > 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $\log_{81}(x+2) > \frac{1}{2}$.

ОДЗ: $x+2 > 0 \implies x > -2$.

Представим правую часть: $\frac{1}{2} = \log_{81}(81^{\frac{1}{2}}) = \log_{81}(\sqrt{81}) = \log_{81}(9)$.

Получаем: $\log_{81}(x+2) > \log_{81}(9)$.

Основание $81 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x+2 > 9 \implies x > 7$.

Решим второе неравенство: $36 - x^2 > 0$.

$x^2 < 36$.

Это равносильно $|x| < 6$, то есть $-6 < x < 6$.

Решение второго неравенства: $x \in (-6, 6)$.

Найдем пересечение решений.

Решение первого неравенства с учетом ОДЗ: $x \in (7, +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-6, 6)$.

Множества $(7, +\infty)$ и $(-6, 6)$ не имеют общих точек.

Ответ: нет решений.

4) Решим систему неравенств:$\begin{cases}\log_3(x-5) < 1, \\x^2 - 16 > 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $\log_3(x-5) < 1$.

ОДЗ: $x-5 > 0 \implies x > 5$.

Представим правую часть: $1 = \log_3(3^1) = \log_3(3)$.

Получаем: $\log_3(x-5) < \log_3(3)$.

Основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x-5 < 3 \implies x < 8$.

С учетом ОДЗ, решение первого неравенства: $5 < x < 8$, то есть $x \in (5, 8)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 16 > 0$.

Разложим на множители: $(x-4)(x+4) > 0$.

Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.

Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

Найдем пересечение решений.

Решение первого неравенства: $x \in (5, 8)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

Пересечение множеств $(5, 8)$ и $((-\infty, -4) \cup (4, +\infty))$ есть интервал $(5, 8)$.

Ответ: $x \in (5, 8)$.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Решите уравнение $(\frac{7}{11})^{4x-5} = (\frac{11}{7})^{x-4}$ :

A 1; B) 0; C) -1; D) не имеет корней.

1. Для решения показательного уравнения $(\frac{7}{11})^{4x-5} = (\frac{11}{7})^{8x-4}$ необходимо привести обе части к одному основанию.

Заметим, что основания дробей являются взаимно обратными числами, то есть для них выполняется свойство: $\frac{11}{7} = (\frac{7}{11})^{-1}$.

Используя это свойство, преобразуем правую часть уравнения. Возведение в степень обратной дроби эквивалентно возведению в степень с противоположным знаком показателя:

$(\frac{11}{7})^{8x-4} = ((\frac{7}{11})^{-1})^{8x-4} = (\frac{7}{11})^{-1 \cdot (8x-4)} = (\frac{7}{11})^{-8x+4}$

Теперь, когда обе части уравнения имеют одинаковое основание, мы можем записать его в новом виде:

$(\frac{7}{11})^{4x-5} = (\frac{7}{11})^{-8x+4}$

Поскольку основания степеней равны (и не равны 1), мы можем приравнять их показатели:

$4x - 5 = -8x + 4$

Далее решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$4x + 8x = 4 + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$12x = 9$

Найдем $x$, разделив обе части на 12:

$x = \frac{9}{12}$

Сократим полученную дробь на 3:

$x = \frac{3}{4}$

Примечание: Полученный корень $x = \frac{3}{4}$ отсутствует среди предложенных вариантов ответа. Это указывает на возможную опечатку в условии задачи или в вариантах ответов. Приведенное решение является математически верным для уравнения в том виде, в котором оно представлено на изображении.

Ответ: $x = \frac{3}{4}$.