Страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Назовите основные термины математической статистики.

2. Чем отличается генеральная совокупность от выборки?

3. Что показывает полигон частот, полигон относительной частоты?

4. Как составляется таблица абсолютных и относительных частот для выборки?

1. Назовите основные термины математической статистики.

Математическая статистика — это раздел математики, который занимается методами сбора, анализа и интерпретации данных для выявления закономерностей и принятия решений в условиях неопределенности. К ее основным терминам относятся:

- Генеральная совокупность: Полный набор всех возможных объектов или наблюдений, относительно которых предполагается делать выводы.

- Выборка (выборочная совокупность): Часть объектов, отобранных из генеральной совокупности для изучения. Результаты, полученные по выборке, обобщаются на всю генеральную совокупность.

- Объем совокупности или выборки ($n$): Число объектов в совокупности или выборке.

- Варианта: Отдельное значение изучаемого признака, которое он принимает в ряду данных.

- Вариационный ряд: Последовательность всех вариант, записанных в порядке их возрастания или убывания.

- Абсолютная частота ($n_i$): Число, показывающее, сколько раз определенная варианта встречается в данных.

- Относительная частота ($W_i$): Отношение абсолютной частоты к общему объему выборки. Рассчитывается по формуле $W_i = \frac{n_i}{n}$.

- Статистическое распределение: Соответствие между вариантами и их частотами.

- Числовые характеристики выборки: Показатели, описывающие выборку, такие как среднее арифметическое, мода, медиана, размах, дисперсия.

Ответ: К основным терминам математической статистики относятся: генеральная совокупность, выборка, объем выборки, варианта, вариационный ряд, абсолютная и относительная частоты, статистическое распределение и числовые характеристики выборки.

2. Чем отличается генеральная совокупность от выборки?

Основное различие между генеральной совокупностью и выборкой заключается в их охвате и назначении в статистическом исследовании.

Генеральная совокупность представляет собой все объекты, которые являются предметом исследования. Например, если социолог хочет изучить мнение жителей города о новом законе, генеральной совокупностью будут все совершеннолетние жители этого города. Исследование всей генеральной совокупности (сплошное наблюдение) часто является невозможным или нецелесообразным из-за большого объема, высокой стоимости и длительности.

Выборка — это часть или подмножество объектов, отобранных из генеральной совокупности для непосредственного анализа. В приведенном примере выборкой могут быть 500 случайно опрошенных жителей города. Главное требование к выборке — она должна быть репрезентативной, то есть ее характеристики должны адекватно отражать характеристики всей генеральной совокупности. На основе анализа данных выборки делаются статистические выводы, которые затем распространяются на всю генеральную совокупность.

Ответ: Генеральная совокупность — это вся исследуемая группа объектов, а выборка — это ее репрезентативная часть, анализируя которую, делают выводы о всей совокупности.

3. Что показывает полигон частот, полигон относительной частоты?

Полигон частот и полигон относительных частот — это графические представления статистического распределения, которые помогают визуализировать данные.

Полигон частот — это ломаная линия, соединяющая точки, координаты которых соответствуют значениям вариант (на оси абсцисс) и их абсолютным частотам (на оси ординат). Он наглядно демонстрирует, какие значения в выборке встречаются чаще всего (соответствуют пикам графика), а какие — реже. Полигон частот позволяет визуально оценить форму распределения данных и найти модальное значение (варианту с наибольшей частотой).

Полигон относительных частот строится аналогично, но по оси ординат откладываются относительные частоты (доли или проценты). Форма этого полигона полностью идентична полигону абсолютных частот, отличается лишь масштаб вертикальной оси. Его главное преимущество заключается в том, что он показывает долю каждого значения в общем объеме данных, что делает возможным корректное сравнение распределений выборок разного объема.

Ответ: Полигон частот наглядно показывает распределение абсолютного числа появлений каждого значения в выборке, а полигон относительных частот показывает распределение долей (пропорций) этих значений, что удобно для сравнения разных выборок.

4. Как составляется таблица абсолютных и относительных частот для выборки?

Таблица абсолютных и относительных частот, также называемая таблицей частотного распределения, составляется в несколько последовательных шагов:

1. Упорядочивание данных. Сначала все значения исходной выборки ($x_1, x_2, \dots, x_n$) записывают в порядке возрастания. Этот упорядоченный ряд называется вариационным.

2. Группировка данных. Из вариационного ряда выписывают все уникальные значения (варианты) $z_1, z_2, \dots, z_k$.

3. Подсчет абсолютных частот. Для каждой уникальной варианты $z_i$ подсчитывают, сколько раз она встречается в исходной выборке. Это число $n_i$ и есть ее абсолютная частота. Важно проверить, что сумма всех абсолютных частот равна общему объему выборки: $\sum n_i = n$.

4. Расчет относительных частот. Для каждой варианты $z_i$ ее относительная частота $W_i$ вычисляется путем деления абсолютной частоты $n_i$ на общий объем выборки $n$ по формуле: $W_i = \frac{n_i}{n}$. Сумма всех относительных частот должна быть равна 1 (или 100%, если частоты выражены в процентах).

5. Создание таблицы. Полученные данные заносят в таблицу, которая обычно состоит из трех столбцов: "Варианта ($z_i$)", "Абсолютная частота ($n_i$)" и "Относительная частота ($W_i$)".

Ответ: Для составления таблицы частот необходимо упорядочить данные выборки, найти все уникальные значения, подсчитать для каждого из них абсолютную частоту (число повторений) и рассчитать относительную частоту (отношение абсолютной частоты к объему выборки), после чего занести результаты в таблицу.

20.1. Дан числовой ряд: 6, 3, 2, 6, 3, 5, 3, 5, 6, 6, 2, 2, 3, 6, 3, 5, 3, 5, 2, 6. Найдите объем выборки, варианты выборки, составьте вариационный ряд частоты и вариационный ряд относительной частоты.

Объем выборки. Объем выборки — это общее количество элементов в данном числовом ряду. Для его нахождения необходимо посчитать все числа в ряду: 6, 3, 2, 6, 3, 5, 3, 5, 6, 6, 2, 2, 3, 6, 3, 5, 3, 5, 2, 6. В данном ряду 20 чисел.

Ответ: Объем выборки $n = 20$.

Варианты выборки. Варианты выборки (или варианты) — это уникальные значения, которые встречаются в ряду. Выпишем все неповторяющиеся числа из исходного ряда и расположим их в порядке возрастания. Уникальными значениями являются 2, 3, 5 и 6.

Ответ: Варианты выборки: 2, 3, 5, 6.

Вариационный ряд частоты. Это представление данных, в котором каждой варианте сопоставляется ее частота (количество раз, которое она встречается в выборке). Сначала упорядочим варианты по возрастанию (2, 3, 5, 6), а затем посчитаем частоту для каждой из них:

Частота варианты 2: $n_1 = 4$.

Частота варианты 3: $n_2 = 6$.

Частота варианты 5: $n_3 = 4$.

Частота варианты 6: $n_4 = 6$.

Для проверки можно сложить все частоты: $4 + 6 + 4 + 6 = 20$, что равно объему выборки.

Ответ: Вариационный ряд частоты можно представить в следующем виде:

Варианта ($x_i$): 2, 3, 5, 6

Частота ($n_i$): 4, 6, 4, 6

Вариационный ряд относительной частоты. Относительная частота — это отношение частоты варианты к общему объему выборки. Она вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ — частота $i$-й варианты, а $n$ — объем выборки. В нашем случае $n=20$.

Вычислим относительные частоты для каждой варианты:

Для варианты 2: $W_1 = \frac{4}{20} = 0.2$

Для варианты 3: $W_2 = \frac{6}{20} = 0.3$

Для варианты 5: $W_3 = \frac{4}{20} = 0.2$

Для варианты 6: $W_4 = \frac{6}{20} = 0.3$

Сумма относительных частот должна быть равна 1: $0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.3 = 1$.

Ответ: Вариационный ряд относительной частоты можно представить в следующем виде:

Варианта ($x_i$): 2, 3, 5, 6

Относительная частота ($W_i$): 0.2, 0.3, 0.2, 0.3