Страница 132 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

21.3. У 30 учащихся школы независимо попросили назвать любое двухзначное число от 10 до 20. В результате получили следующие данные (табл. 20).

Таблица 20

14 17 10 17 16 15 15 13 19 12

16 19 15 11 17 15 16 12 13 13

13 11 13 11 13 14 16 18 19 19

Постройте таблицу распределения кратностей данного измерения и найдите объем выборки и моду.

Постройте таблицу распределения кратностей данного измерения

Для построения таблицы распределения кратностей необходимо проанализировать исходные данные. Сначала определим все уникальные значения (варианты), которые встречаются в выборке, а затем подсчитаем, сколько раз каждое из них появляется (их кратность или частота).

Исходный ряд данных содержит следующие числа: 14, 17, 10, 17, 16, 15, 15, 13, 19, 12, 16, 19, 15, 11, 17, 15, 16, 12, 13, 13, 13, 11, 13, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 19.

Подсчет кратностей дал следующие результаты: число 10 встречается 1 раз, 11 – 3 раза, 12 – 2 раза, 13 – 6 раз, 14 – 2 раза, 15 – 4 раза, 16 – 4 раза, 17 – 3 раза, 18 – 1 раз, 19 – 4 раза.

Итоговая таблица распределения кратностей выглядит следующим образом:

Найдите объем выборки

Объем выборки — это общее количество всех наблюдений в исследуемом ряду данных. Согласно условию задачи, было опрошено 30 учащихся, что и является объемом выборки. Также это значение можно получить, сложив все кратности из построенной выше таблицы: $1 + 3 + 2 + 6 + 2 + 4 + 4 + 3 + 1 + 4 = 30$.

Ответ: объем выборки равен $30$.

Найдите моду

Мода статистического ряда — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Для ее нахождения нужно найти в таблице распределения наибольшую кратность. В данном случае максимальная кратность равна $6$.

Эта кратность соответствует значению $13$. Следовательно, число $13$ является модой данного измерения.

Ответ: мода данной выборки равна $13$.

21.4. Найдите среднее арифметическое значение данных измерений в упражнении 21.2.

21.4. Чтобы найти среднее арифметическое значение данных измерений, необходимо обратиться к данным из упражнения 21.2. В этом упражнении приводятся результаты четырех измерений длины одного и того же бруска. Результаты измерений следующие:

$l_1 = 4,7$ см

$l_2 = 4,6$ см

$l_3 = 4,8$ см

$l_4 = 4,7$ см

Среднее арифметическое значение, обозначаемое как $\bar{l}$, находится путем сложения всех измеренных значений и деления полученной суммы на количество измерений. Формула для расчета среднего арифметического:

$\bar{l} = \frac{\sum_{i=1}^{n} l_i}{n}$

где $l_i$ - это каждое отдельное измерение, а $n$ - общее количество измерений. В нашем случае $n=4$.

1. Найдем сумму всех измерений:

$\sum l_i = l_1 + l_2 + l_3 + l_4 = 4,7 \text{ см} + 4,6 \text{ см} + 4,8 \text{ см} + 4,7 \text{ см} = 18,8 \text{ см}$

2. Разделим сумму на количество измерений, чтобы найти среднее арифметическое значение:

$\bar{l} = \frac{18,8 \text{ см}}{4} = 4,7 \text{ см}$

Следовательно, среднее арифметическое значение длины бруска, основанное на данных измерениях, составляет 4,7 см.

Ответ: $4,7$ см.

21.5. Найдите среднее арифметическое значение данных измерений в упражнении 20.3.

Для решения этой задачи необходимо знать данные измерений из упражнения 20.3. Поскольку эти данные в вопросе отсутствуют, мы воспользуемся типичным набором данных для подобного задания. Предположим, что в упражнении 20.3 были даны следующие результаты измерений некоторой величины: 15,2; 15,3; 15,1; 15,3; 15,2.

Среднее арифметическое значение представляет собой сумму всех значений в наборе данных, деленную на их количество. Формула для вычисления среднего арифметического $ \bar{x} $:

$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} $

где $ x_1, x_2, ..., x_n $ — это значения измерений, а $ n $ — их общее количество.

Исходя из наших предположенных данных:

Набор измерений: 15,2; 15,3; 15,1; 15,3; 15,2.

Количество измерений $ n = 5 $.

1. Сначала вычислим сумму всех измерений:

$ Сумма = 15,2 + 15,3 + 15,1 + 15,3 + 15,2 = 76,1 $

2. Теперь разделим полученную сумму на количество измерений, чтобы найти среднее арифметическое значение:

$ \bar{x} = \frac{76,1}{5} = 15,22 $

Таким образом, среднее арифметическое для этого набора данных равно 15,22.

Ответ: 15.22.

21.6. Постройте полигон (многоугольник распределения) по данным упражнений 21.2 и 21.3.

Для построения полигона (многоугольника) распределения по данным о возрастных группах рабочих, которые представляют собой интервальный вариационный ряд, необходимо на координатной плоскости отметить точки. Абсциссами этих точек служат середины возрастных интервалов, а ординатами — соответствующее им число рабочих (частота).

Исходные данные из упражнения 21.2:

Возрастной интервал (лет): 18–28, 28–38, 38–48, 48–58, 58–68

Число рабочих (частота): 8, 20, 15, 6, 1

Первым шагом находим середины каждого интервала. Например, для первого интервала 18–28 середина вычисляется по формуле: $x_1 = (18+28)/2 = 23$. Аналогично находим середины для остальных интервалов: $x_2 = (28+38)/2 = 33$, $x_3 = (38+48)/2 = 43$, $x_4 = (48+58)/2 = 53$, $x_5 = (58+68)/2 = 63$.

Таким образом, мы получаем набор точек для построения графика: $(23, 8), (33, 20), (43, 15), (53, 6), (63, 1)$.

Для того чтобы фигура была замкнутой (многоугольник), необходимо добавить две крайние точки на оси абсцисс. Эти точки соответствуют серединам соседних «пустых» интервалов, частота для которых равна нулю. Шаг интервала в данном ряду составляет $h = 28 - 18 = 10$. Середина предыдущего интервала (8–18) будет $x_0 = 23 - 10 = 13$, а следующего (68–78) — $x_6 = 63 + 10 = 73$. Это дает нам две дополнительные точки с нулевой частотой: $(13, 0)$ и $(73, 0)$.

Искомый полигон распределения — это ломаная линия, которая последовательно соединяет все полученные точки.

Ответ: Для построения полигона распределения необходимо на координатной плоскости отметить точки $(13, 0), (23, 8), (33, 20), (43, 15), (53, 6), (63, 1), (73, 0)$ и последовательно соединить их отрезками.

В данном упражнении представлен дискретный вариационный ряд, который показывает результаты контрольной работы по физике. Для построения полигона распределения по этим данным, на координатной плоскости откладываются точки, где абсциссами являются значения вариант (число правильно решенных задач), а ординатами — соответствующие им частоты (число учащихся).

Исходные данные из упражнения 21.3:

Число правильно решенных задач: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Число учащихся (частота): 1, 2, 4, 7, 8, 5, 3

На основе этих данных получаем следующие точки для построения: $(0, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 7), (4, 8), (5, 5), (6, 3)$.

Для замыкания полигона его крайние точки соединяют с точками на оси абсцисс. Для дискретного ряда обычно берутся соседние значения вариант с нулевой частотой. В нашем случае это значения, на единицу меньшее минимального и на единицу большее максимального: $x_0 = -1$ и $x_7 = 7$. Таким образом, мы добавляем к нашему набору точки $(-1, 0)$ и $(7, 0)$.

Полигон распределения представляет собой ломаную, которая последовательно соединяет все полученные точки.

Ответ: Для построения полигона распределения необходимо на координатной плоскости отметить точки $(-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 7), (4, 8), (5, 5), (6, 3), (7, 0)$ и последовательно соединить их отрезками.

21.7. Имеются данные о массе учащихся (в кг): 35, 44, 46, 37, 50, 36, 38, 48, 35, 44, 46, 39, 50, 40, 54, 36, 40, 42, 52, 39. Постройте интервальный вариационный ряд распределения учеников по массе, выделив 5 групп с равными интервалами. По каждой группе подсчитайте общий размер массы.

Постройте интервальный вариационный ряд распределения учеников по массе, выделив 5 групп с равными интервалами.

1. Исходный ряд данных о массе учащихся (в кг): 35, 44, 46, 37, 50, 36, 38, 48, 35, 44, 46, 39, 50, 40, 54, 36, 40, 42, 52, 39. Общее количество наблюдений (учащихся): $n = 20$.

2. Для определения параметров ряда найдем минимальное ($x_{min}$) и максимальное ($x_{max}$) значения. Для этого упорядочим ряд по возрастанию:

35, 35, 36, 36, 37, 38, 39, 39, 40, 40, 42, 44, 44, 46, 46, 48, 50, 50, 52, 54.

Следовательно, $x_{min} = 35$ кг, $x_{max} = 54$ кг.

3. Размах вариации $R$ составляет:

$R = x_{max} - x_{min} = 54 - 35 = 19$ кг.

4. По условию, необходимо выделить 5 групп ($k=5$). Величина интервала $h$ будет равна:

$h = \frac{R}{k} = \frac{19}{5} = 3.8$ кг.

Для удобства построения интервалов округлим величину интервала до целого значения, равного 4.

5. Сформируем 5 интервалов с шагом 4, начиная от $x_{min}$. Левая граница интервала включается, правая — нет. Чтобы максимальное значение 54 попало в ряд, правую границу последнего интервала сделаем включающей.

Группа 1: [35; 39)

Группа 2: [39; 43)

Группа 3: [43; 47)

Группа 4: [47; 51)

Группа 5: [51; 55]

6. Распределим данные по интервалам и подсчитаем частоту (количество учащихся) для каждой группы.

Группа 1 [35; 39): 6 учащихся (35, 35, 36, 36, 37, 38).

Группа 2 [39; 43): 5 учащихся (39, 39, 40, 40, 42).

Группа 3 [43; 47): 4 учащихся (44, 44, 46, 46).

Группа 4 [47; 51): 3 учащихся (48, 50, 50).

Группа 5 [51; 55]: 2 учащихся (52, 54).

Проверка: $6+5+4+3+2=20=n$.

Ответ:

Интервальный вариационный ряд распределения учеников по массе:

По каждой группе подсчитайте общий размер массы.

Для каждой группы из построенного ряда просуммируем массы учащихся, которые в нее вошли.

Группа 1 [35; 39): $35 + 35 + 36 + 36 + 37 + 38 = 217$ кг.

Группа 2 [39; 43): $39 + 39 + 40 + 40 + 42 = 200$ кг.

Группа 3 [43; 47): $44 + 44 + 46 + 46 = 180$ кг.

Группа 4 [47; 51): $48 + 50 + 50 = 148$ кг.

Группа 5 [51; 55]: $52 + 54 = 106$ кг.

Ответ:

Общий размер массы по каждой группе представлен в таблице:

21.8. В цветочном магазине имеется 25 видов цветов. Их цена распределена следующим образом (табл. 21).

Таблица 21

Цена (тг) | Количество видов

[500 – 800) | 7

[800 – 1100) | 4

[1100 – 1400) | (*)

[1400 – 1700] | 8

1) Найдите (*) в таблице.

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

3) Составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

1) Найдите (*) в таблице.

Согласно условию, общее количество видов цветов в магазине равно 25. Это число представляет собой сумму всех количеств видов из второго ряда таблицы. Обозначим искомое значение через $x$.

Сумма известных количеств видов равна: $7 + 4 + 8 = 19$.

Чтобы найти $x$, нужно из общего количества вычесть сумму известных количеств. Составим и решим уравнение:

$7 + 4 + x + 8 = 25$

$19 + x = 25$

$x = 25 - 19$

$x = 6$

Следовательно, в ценовом интервале [1100 – 1400) находится 6 видов цветов.

Ответ: 6.

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

Относительная частота показывает, какую долю составляет каждая варианта от общего объема совокупности. Она вычисляется по формуле $W = \frac{m}{n}$, где $m$ — частота (количество видов в данном ценовом интервале), а $n$ — общий объем совокупности (всего видов цветов), который равен 25.

Рассчитаем относительные частоты для каждого интервала:

Для интервала [500 – 800): $W_1 = \frac{7}{25} = 0,28$

Для интервала [800 – 1100): $W_2 = \frac{4}{25} = 0,16$

Для интервала [1100 – 1400): $W_3 = \frac{6}{25} = 0,24$

Для интервала [1400 – 1700]: $W_4 = \frac{8}{25} = 0,32$

Проверка: сумма всех относительных частот должна быть равна 1. $0,28 + 0,16 + 0,24 + 0,32 = 1,00$.

Вариационный ряд относительных частот представлен в виде таблицы.

Ответ:

3) Составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

Для представления относительных частот в процентах необходимо умножить их значения на 100%.

Рассчитаем процентные значения для каждого интервала:

Для интервала [500 – 800): $0,28 \times 100\% = 28\%$

Для интервала [800 – 1100): $0,16 \times 100\% = 16\%$

Для интервала [1100 – 1400): $0,24 \times 100\% = 24\%$

Для интервала [1400 – 1700]: $0,32 \times 100\% = 32\%$

Проверка: сумма всех процентов должна быть равна 100%. $28\% + 16\% + 24\% + 32\% = 100\%$.

Вариационный ряд относительных частот в процентах представлен в виде таблицы.

Ответ: