Страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.2. Дан числовой ряд: 10, 9, 4, 8, 8, 10, 9, 4, 4, 4, 9, 8, 8, 9, 4, 8, 10, 8, 10, 8. Найдите объем выборки, варианты выборки, составьте вариационный ряд частоты и вариационный ряд относительной частоты и относительных частот в процентах.

Для решения задачи проанализируем данный числовой ряд: 10, 9, 4, 8, 8, 10, 9, 4, 4, 9, 8, 8, 9, 4, 8, 10, 8, 10, 8.

Объем выборки

Объем выборки – это общее количество элементов в ряду. Подсчитав все числа в предоставленном ряду, мы обнаружим, что их 19.

Ответ: Объем выборки $n = 19$.

Варианты выборки

Варианты выборки – это уникальные значения, которые встречаются в числовом ряду. В данном ряду встречаются только числа 4, 8, 9 и 10. Упорядочим их по возрастанию.

Ответ: Варианты выборки: 4, 8, 9, 10.

Вариационный ряд частоты

Вариационный ряд частоты показывает, сколько раз каждая варианта встречается в выборке. Подсчитаем частоту ($n_i$) для каждой варианты ($x_i$):

- Число 4 встречается 4 раза.

- Число 8 встречается 7 раз.

- Число 9 встречается 4 раза.

- Число 10 встречается 4 раза.

Сумма частот: $4 + 7 + 4 + 4 = 19$, что совпадает с объемом выборки.

Ответ: Вариационный ряд частоты, представленный в виде пар "варианта – частота": 4 – 4; 8 – 7; 9 – 4; 10 – 4.

Вариационный ряд относительной частоты и относительных частот в процентах

Относительная частота ($W_i$) вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ – частота варианты, а $n$ – объем выборки ($n=19$). Для получения значения в процентах результат умножается на 100%.

- Для варианты 4: относительная частота $W_4 = \frac{4}{19}$. В процентах: $\frac{4}{19} \times 100\% \approx 21.05\%$.

- Для варианты 8: относительная частота $W_8 = \frac{7}{19}$. В процентах: $\frac{7}{19} \times 100\% \approx 36.84\%$.

- Для варианты 9: относительная частота $W_9 = \frac{4}{19}$. В процентах: $\frac{4}{19} \times 100\% \approx 21.05\%$.

- Для варианты 10: относительная частота $W_{10} = \frac{4}{19}$. В процентах: $\frac{4}{19} \times 100\% \approx 21.05\%$.

Ответ: Вариационный ряд относительных частот (пары "варианта – относительная частота"): 4 – $\frac{4}{19}$; 8 – $\frac{7}{19}$; 9 – $\frac{4}{19}$; 10 – $\frac{4}{19}$.

Вариационный ряд относительных частот в процентах (пары "варианта – процент"): 4 – 21.05%; 8 – 36.84%; 9 – 21.05%; 10 – 21.05%.

20.3. Результаты оценок суммативного оценивания по алгебре и началам анализа за I четверть среди учащихся 10-х классов представлены в таблице 11.
Таблица 10

1) Составьте вариационный ряд результатов и найдите объем выборки;
2) составьте вариационный ряд относительных частот.

1) Составьте вариационный ряд результатов и найдите объем выборки

Для начала определим объем выборки, то есть общее количество результатов. В таблице представлено 3 строки по 10 оценок в каждой. Следовательно, объем выборки $n$ равен:

$n = 3 \times 10 = 30$.

Далее составим вариационный ряд. Для этого найдем все уникальные оценки (варианты) и посчитаем, сколько раз каждая из них встречается в выборке (частота).

Исходные данные содержат оценки: 2, 3, 4, 5.

Посчитаем частоту $n_i$ для каждой оценки $x_i$:

- Оценка «2» ($x_1=2$) встречается 1 раз, следовательно, $n_1=1$.

- Оценка «3» ($x_2=3$) встречается 12 раз, следовательно, $n_2=12$.

- Оценка «4» ($x_3=4$) встречается 11 раз, следовательно, $n_3=11$.

- Оценка «5» ($x_4=5$) встречается 6 раз, следовательно, $n_4=6$.

Для проверки можно сложить все частоты. Сумма должна быть равна объему выборки:

$1 + 12 + 11 + 6 = 30$, что верно.

Вариационный ряд в виде таблицы частот выглядит следующим образом:

Ответ: объем выборки $n=30$. Вариационный ряд: оценка 2 имеет частоту 1; оценка 3 – частоту 12; оценка 4 – частоту 11; оценка 5 – частоту 6.

2) составьте вариационный ряд относительных частот

Относительная частота $W_i$ показывает долю каждой варианты в общем объеме выборки. Она вычисляется по формуле: $W_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ — частота варианты, а $n$ — объем выборки.

Используя найденные ранее частоты и объем выборки $n=30$, рассчитаем относительные частоты:

- Для оценки «2»: $W_1 = \frac{n_1}{n} = \frac{1}{30}$

- Для оценки «3»: $W_2 = \frac{n_2}{n} = \frac{12}{30}$

- Для оценки «4»: $W_3 = \frac{n_3}{n} = \frac{11}{30}$

- Для оценки «5»: $W_4 = \frac{n_4}{n} = \frac{6}{30}$

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1:

$W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = \frac{1}{30} + \frac{12}{30} + \frac{11}{30} + \frac{6}{30} = \frac{1+12+11+6}{30} = \frac{30}{30} = 1$.

Вариационный ряд относительных частот в виде таблицы:

Ответ: вариационный ряд относительных частот: для оценки 2 – $\frac{1}{30}$; для оценки 3 – $\frac{12}{30}$; для оценки 4 – $\frac{11}{30}$; для оценки 5 – $\frac{6}{30}$.

20.4. По вариационному ряду частот найдите объем выборки и постройте полигон частот (табл. 11—13).

1)

Таблица 11

2)

Таблица 12

3)

Таблица 13

1)

Для нахождения объема выборки необходимо сложить все частоты $n_i$, указанные в таблице. Объем выборки $N$ вычисляется по формуле $N = \sum n_i$.

В данном случае: $N = 9 + 2 + 3 + 6 = 20$.

Для построения полигона частот необходимо на координатной плоскости отметить точки, абсциссами которых являются значения вариант $x_i$, а ординатами — соответствующие им частоты $n_i$. Затем эти точки последовательно соединяются отрезками.

Точки для построения полигона: (7; 9), (9; 2), (10; 3), (12; 6).

Ответ: Объем выборки равен 20. Полигон частот — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки с координатами (7; 9), (9; 2), (10; 3) и (12; 6).

2)

Объем выборки $N$ равен сумме всех частот $n_i$.

$N = 6 + 8 + 6 + 5 = 25$.

Для построения полигона частот нанесем на координатную плоскость точки с координатами ($x_i$; $n_i$) и соединим их последовательно отрезками.

Точки для построения полигона: (11; 6), (13; 8), (17; 6), (19; 5).

Ответ: Объем выборки равен 25. Полигон частот — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки с координатами (11; 6), (13; 8), (17; 6) и (19; 5).

3)

Найдем объем выборки $N$ как сумму всех частот $n_i$.

$N = 6 + 5 + 9 + 4 + 6 = 30$.

Для построения полигона частот отметим на координатной плоскости точки, координаты которых соответствуют значениям из таблицы, и соединим их последовательно отрезками.

Точки для построения полигона: (3; 6), (5; 5), (7; 9), (9; 4), (11; 6).

Ответ: Объем выборки равен 30. Полигон частот — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки с координатами (3; 6), (5; 5), (7; 9), (9; 4) и (11; 6).

20.5. В таблице 14 приведены результаты измерения роста (в см) группы учеников.

Таблица 14

157 159 156 158 158

156 158 159 159 157

155 155 154 156 159

158 156 154 160 156

По данным таблицы:

1) составьте вариационный ряд результатов и найдите объем выборки;

2) составьте вариационный ряд относительных частот;

3) составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

1) составьте вариационный ряд результатов и найдите объем выборки

Для начала определим объем выборки. Объем выборки – это общее количество элементов в наборе данных. В представленной таблице 4 строки и 5 столбцов, следовательно, общее количество измерений роста (объем выборки $n$) составляет:

$n = 4 \times 5 = 20$

Далее составим вариационный ряд. Для этого необходимо упорядочить все уникальные значения роста (варианты) по возрастанию и подсчитать частоту появления каждого значения.

Исходные данные: 157, 159, 156, 158, 158, 156, 158, 159, 159, 157, 155, 155, 154, 156, 159, 158, 156, 154, 160, 156.

Уникальные значения роста (варианты $x_i$) в порядке возрастания: 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160.

Теперь подсчитаем частоту ($n_i$) для каждой варианты:

- Рост 154 см встречается 2 раза.

- Рост 155 см встречается 2 раза.

- Рост 156 см встречается 5 раз.

- Рост 157 см встречается 2 раза.

- Рост 158 см встречается 4 раза.

- Рост 159 см встречается 4 раза.

- Рост 160 см встречается 1 раз.

Проверим, что сумма всех частот равна объему выборки: $2 + 2 + 5 + 2 + 4 + 4 + 1 = 20$.

Вариационный ряд результатов можно представить в виде таблицы:

Рост ($x_i$), см: 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160

Частота ($n_i$): 2, 2, 5, 2, 4, 4, 1

Ответ: Объем выборки равен 20. Вариационный ряд результатов:

Рост ($x_i$), см: 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160

Частота ($n_i$): 2, 2, 5, 2, 4, 4, 1

2) составьте вариационный ряд относительных частот

Относительная частота ($W_i$) показывает долю каждой варианты в общем объеме выборки. Она вычисляется по формуле: $W_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ – частота варианты, а $n=20$ – объем выборки.

Рассчитаем относительные частоты для каждого значения роста:

$W_{154} = \frac{2}{20} = 0.1$

$W_{155} = \frac{2}{20} = 0.1$

$W_{156} = \frac{5}{20} = 0.25$

$W_{157} = \frac{2}{20} = 0.1$

$W_{158} = \frac{4}{20} = 0.2$

$W_{159} = \frac{4}{20} = 0.2$

$W_{160} = \frac{1}{20} = 0.05$

Сумма всех относительных частот должна равняться 1: $0.1 + 0.1 + 0.25 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.05 = 1.0$.

Вариационный ряд относительных частот:

Рост ($x_i$), см: 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160

Относительная частота ($W_i$): 0.1, 0.1, 0.25, 0.1, 0.2, 0.2, 0.05

Ответ: Вариационный ряд относительных частот:

Рост ($x_i$), см: 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160

Относительная частота ($W_i$): 0.1, 0.1, 0.25, 0.1, 0.2, 0.2, 0.05

3) составьте вариационный ряд относительных частот в процентах

Чтобы выразить относительные частоты в процентах, необходимо значения относительных частот $W_i$ умножить на 100%.

Рассчитаем процентные частоты:

Для роста 154 см: $0.1 \times 100\% = 10\%$

Для роста 155 см: $0.1 \times 100\% = 10\%$

Для роста 156 см: $0.25 \times 100\% = 25\%$

Для роста 157 см: $0.1 \times 100\% = 10\%$

Для роста 158 см: $0.2 \times 100\% = 20\%$

Для роста 159 см: $0.2 \times 100\% = 20\%$

Для роста 160 см: $0.05 \times 100\% = 5\%$

Сумма всех процентных частот должна равняться 100%: $10\% + 10\% + 25\% + 10\% + 20\% + 20\% + 5\% = 100\%$.

Вариационный ряд относительных частот в процентах:

Рост ($x_i$), см: 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160

Относительная частота, %: 10, 10, 25, 10, 20, 20, 5

Ответ: Вариационный ряд относительных частот в процентах:

Рост ($x_i$), см: 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160

Относительная частота, %: 10, 10, 25, 10, 20, 20, 5