Страница 122 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2. Найдите наибольшее натуральное решение неравенства $0,37^{7x-9} > 0,37$:

A) 10;

B) 8;

C) 9;

D) такое число не существует.

Дано показательное неравенство $0,37^{x-9} > 0,37$. Для решения этого неравенства представим правую часть в виде степени с тем же основанием, что и в левой части: $0,37 = 0,37^1$. Теперь неравенство имеет вид: $0,37^{x-9} > 0,37^1$. Поскольку основание степени $a = 0,37$ находится в интервале $0 < a < 1$, показательная функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента (показателя степени), поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Таким образом, получаем: $x - 9 < 1$. Решим полученное линейное неравенство, прибавив 9 к обеим его частям: $x < 1 + 9$, что приводит к $x < 10$. В задаче требуется найти наибольшее натуральное решение. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Натуральными числами, удовлетворяющими условию $x < 10$, являются $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Наибольшим из этих натуральных чисел является 9. Ответ: 9

3. Решите уравнение $10^{\cos x} - \sqrt{10} = 0$:

A) $(-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z;

B) $(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z;

C) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z;

D) $\pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z.$

Решение:

Исходное уравнение:

$10^{\cos x} - \sqrt{10} = 0$

Для решения этого уравнения сначала изолируем показательное выражение. Для этого перенесем $\sqrt{10}$ в правую часть уравнения:

$10^{\cos x} = \sqrt{10}$

Теперь необходимо представить правую часть уравнения в виде степени с тем же основанием, что и в левой части, то есть с основанием 10. Используя свойство корней, мы знаем, что $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. Следовательно:

$\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$

Подставим это в наше уравнение:

$10^{\cos x} = 10^{\frac{1}{2}}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$\cos x = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса для $\frac{1}{2}$ является табличным:

$\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

Подставляем найденное значение в общую формулу решения:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

A) $(-1)^n\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ — это общая формула для решения уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

B) $(-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ — это общая формула для решения уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$.

C) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ — этот вариант полностью совпадает с нашим решением.

D) $\pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ — это решение уравнения $\cos x = \pm\frac{1}{2}$, а не $\cos x = \frac{1}{2}$.

Таким образом, правильный вариант ответа — C.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4. Найдите корни уравнения $ \log_5(x - 7) + \log_5(x - 2) = \log_5(x + 5) $:

A 9; B) 1; C) 1; 9; D) 7.

Исходное уравнение: $\log_5(x - 7) + \log_5(x - 2) = \log_5(x + 5)$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Поэтому должны выполняться три условия одновременно:

$x - 7 > 0 \implies x > 7$

$x - 2 > 0 \implies x > 2$

$x + 5 > 0 \implies x > -5$

Объединяя все три условия, получаем, что ОДЗ для данного уравнения: $x > 7$.

2. Решим уравнение. Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$. Применим его к левой части уравнения:

$\log_5((x - 7)(x - 2)) = \log_5(x + 5)$

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:

$(x - 7)(x - 2) = x + 5$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 - 2x - 7x + 14 = x + 5$

$x^2 - 9x + 14 = x + 5$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 9x - x + 14 - 5 = 0$

$x^2 - 10x + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно 9.

$x_1 + x_2 = 10$

$x_1 \cdot x_2 = 9$

Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.

3. Проверим корни на соответствие ОДЗ. Наша область допустимых значений: $x > 7$.

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x > 7$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x > 7$ ($9 > 7$), следовательно, это единственный корень уравнения.

Таким образом, корень уравнения равен 9, что соответствует варианту A.

Ответ: A) 9.

5. При каких значениях $x$ функция $y = \log_2(x - 5)$ принимает положительные значения:

A) $(5; +\infty)$;

B) $[5; +\infty)$;

C) $(6; +\infty)$;

D) $[6; +\infty)$?

Для того чтобы функция $y = \log_2(x - 5)$ принимала положительные значения, необходимо, чтобы выполнялось неравенство $y > 0$.

Составим и решим неравенство:

$\log_2(x - 5) > 0$

Решение этого неравенства состоит из двух шагов.

1. Находим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции. Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля:

$x - 5 > 0$

$x > 5$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (5; +\infty)$.

2. Решаем само неравенство. Для этого представим правую часть (0) в виде логарифма с тем же основанием, что и в левой части (основание 2):

$0 = \log_2(1)$

Теперь неравенство можно переписать в виде:

$\log_2(x - 5) > \log_2(1)$

Так как основание логарифма $a = 2$, и $2 > 1$, то логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$x - 5 > 1$

Решаем полученное линейное неравенство:

$x > 1 + 5$

$x > 6$

Полученное решение $x > 6$ необходимо сравнить с областью допустимых значений $x > 5$. Решение $x > 6$ полностью входит в ОДЗ.

Таким образом, функция принимает положительные значения при $x \in (6; +\infty)$. Этот интервал соответствует варианту C.

Ответ: C) $(6; +\infty)$.

6. Решите систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - 4 > 0, \\ \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} < 5; \end{cases} $

A $ [-2; 2]; $ B) $ (-\infty; -2]; $ C) $ [2; +\infty); $ D) $ (0; +\infty). $

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства $x^2 - 4 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Корнями соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ являются точки $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Так как знак неравенства строгий (">"), а ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх, решением является область вне корней.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Решение второго неравенства $(\frac{1}{5})^{x+1} < 5$

Это показательное неравенство. Приведем обе части к одному основанию, например, к основанию 5. Учитывая, что $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, неравенство можно переписать в виде:

$(5^{-1})^{x+1} < 5^1$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$5^{-(x+1)} < 5^1$

$5^{-x-1} < 5^1$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$-x - 1 < 1$

$-x < 1 + 1$

$-x < 2$

Умножим обе части неравенства на -1, не забыв при этом изменить знак неравенства на противоположный:

$x > -2$

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-2; +\infty)$.

Нахождение решения системы

Решением системы является пересечение множеств решений, найденных для каждого неравенства:

$x \in ((-\infty; -2) \cup (2; +\infty)) \cap (-2; +\infty)$

Для нахождения пересечения необходимо выбрать те значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Условие $x > -2$ исключает интервал $(-\infty; -2)$. Следовательно, нам нужно найти пересечение оставшегося интервала $(2; +\infty)$ с интервалом $(-2; +\infty)$.

Общим решением для этих двух условий является интервал $(2; +\infty)$.

Таким образом, решение системы неравенств: $x \in (2; +\infty)$.

Сравнивая полученное решение с предложенными вариантами, можно заметить, что оно не совпадает ни с одним из них. Наиболее близкий вариант C) $[2; +\infty)$ был бы верным, если бы первое неравенство было нестрогим ($x^2 - 4 \ge 0$), что привело бы к включению точки $x=2$ в ответ. Однако, исходя из точных условий, представленных в задаче, правильным решением является строгий интервал.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

7. Решите систему уравнений $\begin{cases} \log_5 (x + y) = 1, \\ 2x + y = 7 \end{cases}$

A) (3; 2);

B) (2; 3);

C) (-2; -3);

D) (3; 1).

Исходная система уравнений:

Сначала преобразуем первое уравнение системы. По определению логарифма, если $\log_a(b) = c$, то $a^c = b$. Применительно к нашему уравнению это означает:

$x+y = 5^1$

$x+y = 5$

Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, то есть $x+y > 0$. Поскольку мы получили, что $x+y=5$, а $5 > 0$, условие ОДЗ выполняется.

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:

Для решения этой системы удобно использовать метод вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$(2x+y) - (x+y) = 7 - 5$

$2x - x + y - y = 2$

$x = 2$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, подставим его в любое из уравнений системы, чтобы найти $y$. Возьмем первое уравнение $x+y=5$:

$2 + y = 5$

$y = 5 - 2$

$y = 3$

Таким образом, решение системы уравнений — это пара чисел $(2; 3)$. Сравнивая наш результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту B.

Ответ: (2; 3)

8. Найдите общее решение неравенств $5^{x^2} > 5^{10x - 21}$ и $5 - x > 0$:

A) $[3; 7];$

B) $(-\infty; 3];$

C) $(5; 7];$

D) $[3; 5) \cup (5; 7].$

Для нахождения общего решения необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их множеств решений.

Решение первого неравенства $5^{x^2} > 5^{10x - 21}$

Так как основание степени $5$ больше $1$ ($5 > 1$), то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x^2 > 10x - 21$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 - 10x + 21 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 10$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 21$. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

Теперь мы можем представить квадратный трехчлен в виде произведения множителей: $(x - 3)(x - 7) > 0$.

Графиком функции $y = x^2 - 10x + 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 3) \cup (7; \infty)$.

Решение второго неравенства $5 - x > 0$

Это линейное неравенство. Перенесем $x$ в правую часть:

$5 > x$

Что эквивалентно записи:

$x < 5$

Решением второго неравенства является интервал: $x \in (-\infty; 5)$.

Нахождение общего решения

Общее решение системы — это пересечение множеств решений обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-\infty; 3) \cup (7; \infty)$ и $x \in (-\infty; 5)$.

Запишем это в виде: $((-\infty; 3) \cup (7; \infty)) \cap (-\infty; 5)$.

Рассмотрим пересечение для каждой части объединения:

1. Пересечение $(-\infty; 3)$ и $(-\infty; 5)$ дает интервал $(-\infty; 3)$.

2. Пересечение $(7; \infty)$ и $(-\infty; 5)$ является пустым множеством ($\emptyset$), так как нет чисел, которые одновременно больше 7 и меньше 5.

Объединив результаты, получаем итоговое решение: $(-\infty; 3) \cup \emptyset = (-\infty; 3)$.

Ответ: $(-\infty; 3)$

9. Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству

$\log_{\frac{1}{7}}(2x - 1) > 0$

А) 1;

В) 0;

С) 2;

D такое число не существует.

Для решения логарифмического неравенства $ \log_{\frac{1}{7}}(2x - 1) > 0 $ необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ), а затем решить само неравенство.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:$ 2x - 1 > 0 $

$ 2x > 1 $

$ x > \frac{1}{2} $

2. Решение неравенства

Представим правую часть неравенства, число 0, в виде логарифма с основанием $ \frac{1}{7} $. Так как для любого основания $ a > 0, a \neq 1 $ верно, что $ \log_a(1) = 0 $, то получаем:$ \log_{\frac{1}{7}}(2x - 1) > \log_{\frac{1}{7}}(1) $

Основание логарифма $ a = \frac{1}{7} $ меньше 1 ($ 0 < \frac{1}{7} < 1 $). Для логарифмических неравенств с основанием меньше 1, при переходе к сравнению аргументов знак неравенства меняется на противоположный:$ 2x - 1 < 1 $

Решим полученное линейное неравенство:$ 2x < 1 + 1 $

$ 2x < 2 $

$ x < 1 $

3. Нахождение общего решения

Теперь необходимо найти пересечение множества решений, полученного из ОДЗ, и множества решений самого неравенства. Составим систему:$ \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x < 1 \end{cases} $

Решением этой системы является интервал $ (\frac{1}{2}; 1) $, то есть $ 0.5 < x < 1 $.

4. Поиск наименьшего целого числа

Задача требует найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству. В полученном интервале $ (0.5; 1) $ нет ни одного целого числа.

Ответ: D) такое число не существует.

10. Решите систему неравенств $ \begin{cases} \log_1 x > 0, \\ 0.19^{x^2} > 0.19^x \end{cases} $

A) $(0; 1);$

B) $(0; 1];$

C) $(0; +\infty);$

D) нет решения.

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решение неравенства $log_2 x > 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции определяется условием, что ее аргумент должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 2: $0 = log_2 1$.

Неравенство принимает вид: $log_2 x > log_2 1$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $y = log_2 x$ является возрастающей. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$x > 1$.

Полученное решение $x > 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$). Таким образом, решение первого неравенства — это интервал $x \in (1; +\infty)$.

2. Решение неравенства $0,19^{x^2} > 0,19^x$

Данное неравенство является показательным. Основание степени равно $0,19$.

Так как основание $0 < 0,19 < 1$, показательная функция $y = 0,19^t$ является убывающей. Это означает, что при сравнении показателей степени знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x^2 < x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x < 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства применим метод интервалов. Корни уравнения $x(x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Выражение $x(x - 1)$ будет отрицательным на интервале между корнями.

Следовательно, решение второго неравенства — это интервал $x \in (0; 1)$.

3. Нахождение решения системы

Решением системы является пересечение множеств решений первого и второго неравенств.

Решение первого неравенства: $x \in (1; +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (0; 1)$.

Найдем пересечение этих интервалов: $(1; +\infty) \cap (0; 1)$.

Данные интервалы не имеют общих точек, следовательно, их пересечение является пустым множеством ($\emptyset$).

Ответ: нет решения.