Номер 8, страница 122 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8. Найдите общее решение неравенств $5^{x^2} > 5^{10x - 21}$ и $5 - x > 0$:

A) $[3; 7];$

B) $(-\infty; 3];$

C) $(5; 7];$

D) $[3; 5) \cup (5; 7].$

Для нахождения общего решения необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их множеств решений.

Решение первого неравенства $5^{x^2} > 5^{10x - 21}$

Так как основание степени $5$ больше $1$ ($5 > 1$), то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x^2 > 10x - 21$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 - 10x + 21 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 10$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 21$. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

Теперь мы можем представить квадратный трехчлен в виде произведения множителей: $(x - 3)(x - 7) > 0$.

Графиком функции $y = x^2 - 10x + 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 3) \cup (7; \infty)$.

Решение второго неравенства $5 - x > 0$

Это линейное неравенство. Перенесем $x$ в правую часть:

$5 > x$

Что эквивалентно записи:

$x < 5$

Решением второго неравенства является интервал: $x \in (-\infty; 5)$.

Нахождение общего решения

Общее решение системы — это пересечение множеств решений обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-\infty; 3) \cup (7; \infty)$ и $x \in (-\infty; 5)$.

Запишем это в виде: $((-\infty; 3) \cup (7; \infty)) \cap (-\infty; 5)$.

Рассмотрим пересечение для каждой части объединения:

1. Пересечение $(-\infty; 3)$ и $(-\infty; 5)$ дает интервал $(-\infty; 3)$.

2. Пересечение $(7; \infty)$ и $(-\infty; 5)$ является пустым множеством ($\emptyset$), так как нет чисел, которые одновременно больше 7 и меньше 5.

Объединив результаты, получаем итоговое решение: $(-\infty; 3) \cup \emptyset = (-\infty; 3)$.

Ответ: $(-\infty; 3)$