Номер 3, страница 122 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3. Решите уравнение $10^{\cos x} - \sqrt{10} = 0$:

A) $(-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z;

B) $(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z;

C) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z;

D) $\pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z.$

Решение:

Исходное уравнение:

$10^{\cos x} - \sqrt{10} = 0$

Для решения этого уравнения сначала изолируем показательное выражение. Для этого перенесем $\sqrt{10}$ в правую часть уравнения:

$10^{\cos x} = \sqrt{10}$

Теперь необходимо представить правую часть уравнения в виде степени с тем же основанием, что и в левой части, то есть с основанием 10. Используя свойство корней, мы знаем, что $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. Следовательно:

$\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$

Подставим это в наше уравнение:

$10^{\cos x} = 10^{\frac{1}{2}}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$\cos x = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\cos x = a$ дается формулой $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса для $\frac{1}{2}$ является табличным:

$\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

Подставляем найденное значение в общую формулу решения:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

A) $(-1)^n\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ — это общая формула для решения уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

B) $(-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ — это общая формула для решения уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$.

C) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ — этот вариант полностью совпадает с нашим решением.

D) $\pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ — это решение уравнения $\cos x = \pm\frac{1}{2}$, а не $\cos x = \frac{1}{2}$.

Таким образом, правильный вариант ответа — C.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.