Номер 19.9, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.9. 1) $log_3(11 + 4^x) > 3;$

2) $log_{\frac{1}{5}}(22 + 3^x) > -2;$

3) $lg(x^2 - 1) < 0;$

4) $lg(1 - x^2) > 0.$

1) Решим неравенство $ \log_3(11 + 4^x) > 3 $.

По определению логарифма, выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $ 11 + 4^x > 0 $. Поскольку $ 4^x > 0 $ для любого действительного $ x $, это неравенство выполняется всегда. Область допустимых значений (ОДЗ) — все действительные числа, $ x \in R $.

Основание логарифма $ 3 > 1 $, поэтому при переходе от логарифмов к выражениям под ними знак неравенства сохраняется.

$ 11 + 4^x > 3^3 $

$ 11 + 4^x > 27 $

$ 4^x > 27 - 11 $

$ 4^x > 16 $

Представим $ 16 $ как степень с основанием $ 4 $:

$ 4^x > 4^2 $

Так как основание степени $ 4 > 1 $, переходим к неравенству для показателей степеней, сохраняя знак:

$ x > 2 $

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ (2; +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{5}}(22 + 3^x) > -2 $.

ОДЗ: $ 22 + 3^x > 0 $. Это неравенство выполняется для всех $ x \in R $, так как $ 3^x > 0 $.

Основание логарифма $ a = \frac{1}{5} $, и $ 0 < a < 1 $. Поэтому при переходе от логарифмов к выражениям под ними знак неравенства меняется на противоположный.

$ 22 + 3^x < \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} $

$ 22 + 3^x < (5^{-1})^{-2} $

$ 22 + 3^x < 5^2 $

$ 22 + 3^x < 25 $

$ 3^x < 25 - 22 $

$ 3^x < 3 $

$ 3^x < 3^1 $

Так как основание степени $ 3 > 1 $, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$ x < 1 $

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ (-\infty; 1) $.

3) Решим неравенство $ \lg(x^2 - 1) < 0 $.

Здесь $ \lg $ — это десятичный логарифм, то есть $ \log_{10} $.

ОДЗ: $ x^2 - 1 > 0 $. Разложим на множители: $ (x - 1)(x + 1) > 0 $. Решением этого неравенства является объединение интервалов $ x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) $.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма: $ 0 = \lg(1) $.

$ \lg(x^2 - 1) < \lg(1) $

Основание логарифма $ 10 > 1 $, поэтому знак неравенства сохраняется.

$ x^2 - 1 < 1 $

$ x^2 - 2 < 0 $

Разложим на множители: $ (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) < 0 $.

Решением этого неравенства является интервал $ x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) $.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $ ((-\infty; -1) \cup (1; +\infty)) \cap (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) $.

Пересечением является $ (-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}) $.

Ответ: $ (-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}) $.

4) Решим неравенство $ \lg(1 - x^2) > 0 $.

ОДЗ: $ 1 - x^2 > 0 $. Это равносильно $ x^2 < 1 $, откуда следует $ -1 < x < 1 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-1; 1) $.

Представим правую часть неравенства как $ 0 = \lg(1) $.

$ \lg(1 - x^2) > \lg(1) $

Основание логарифма $ 10 > 1 $, поэтому знак неравенства сохраняется.

$ 1 - x^2 > 1 $

$ -x^2 > 0 $

$ x^2 < 0 $

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поэтому неравенство $ x^2 < 0 $ не имеет решений.

Следовательно, исходное неравенство также не имеет решений.

Ответ: $ \text{нет решений} $.