Номер 19.10, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.10. 1) $\log_5 (x^2 - 3) > 0;$

2) $\log_8 (-9 + x^2) > 0;$

3) $\log_4 \frac{2x - 1}{x + 1} > \log_4 3;$

4) $\lg \frac{3 - x}{x + 2} < 1.$

1) $\log_5(x^2 - 3) > 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 3 > 0$

$x^2 > 3$

$|x| > \sqrt{3}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

Теперь решим само неравенство. Представим 0 в виде логарифма по основанию 5:

$0 = \log_5(1)$

$\log_5(x^2 - 3) > \log_5(1)$

Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 3 > 1$

$x^2 - 4 > 0$

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Так как $2 > \sqrt{3}$ и $-2 < -\sqrt{3}$, то решение $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ полностью удовлетворяет ОДЗ $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$. Следовательно, найденное решение и является окончательным ответом.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

2) $\log_8(-9 + x^2) > 0$

Перепишем неравенство в более привычном виде: $\log_8(x^2 - 9) > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что аргумент логарифма положителен:

$x^2 - 9 > 0$

$(x - 3)(x + 3) > 0$

ОДЗ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Решаем неравенство. Представим 0 как $\log_8(1)$:

$\log_8(x^2 - 9) > \log_8(1)$

Основание логарифма $8 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 9 > 1$

$x^2 - 10 > 0$

$(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) > 0$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}, \infty)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ. Сравним $\sqrt{10}$ и $3$. Так как $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$. Соответственно, $-\sqrt{10} < -3$.

Интервал $(-\infty, -\sqrt{10})$ является подмножеством интервала $(-\infty, -3)$.

Интервал $(\sqrt{10}, \infty)$ является подмножеством интервала $(3, \infty)$.

Таким образом, пересечение совпадает с найденным решением.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}, \infty)$.

3) $\log_4 \frac{2x - 1}{x + 1} > \log_4 3$

Найдем ОДЗ из условия положительности аргумента логарифма:

$\frac{2x - 1}{x + 1} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = 1/2$ и $x = -1$. На числовой прямой это дает интервалы $(-\infty, -1)$, $(-1, 1/2)$ и $(1/2, \infty)$. Проверяя знаки на интервалах, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1/2, \infty)$.

Теперь решаем основное неравенство. Так как основание логарифма $4 > 1$, знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$\frac{2x - 1}{x + 1} > 3$

$\frac{2x - 1}{x + 1} - 3 > 0$

$\frac{2x - 1 - 3(x + 1)}{x + 1} > 0$

$\frac{2x - 1 - 3x - 3}{x + 1} > 0$

$\frac{-x - 4}{x + 1} > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{x + 4}{x + 1} < 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = -4$ и $x = -1$. Неравенство верно на интервале $(-4, -1)$.

Найдем пересечение решения $x \in (-4, -1)$ с ОДЗ $x \in (-\infty, -1) \cup (1/2, \infty)$.

Пересечением является интервал $(-4, -1)$.

Ответ: $x \in (-4, -1)$.

4) $\lg \frac{3 - x}{x + 2} < 1$

Десятичный логарифм $\lg$ имеет основание 10. Найдем ОДЗ:

$\frac{3 - x}{x + 2} > 0$

$\frac{-(x - 3)}{x + 2} > 0$

$\frac{x - 3}{x + 2} < 0$

Методом интервалов получаем ОДЗ: $x \in (-2, 3)$.

Теперь решаем неравенство. Представим 1 как $\lg 10$:

$\lg \frac{3 - x}{x + 2} < \lg 10$

Так как основание $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{3 - x}{x + 2} < 10$

$\frac{3 - x}{x + 2} - 10 < 0$

$\frac{3 - x - 10(x + 2)}{x + 2} < 0$

$\frac{3 - x - 10x - 20}{x + 2} < 0$

$\frac{-11x - 17}{x + 2} < 0$

Умножим на -1 и сменим знак:

$\frac{11x + 17}{x + 2} > 0$

Нули числителя и знаменателя: $x = -17/11$ и $x = -2$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2) \cup (-17/11, \infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (-2, 3)$.

Пересекая $(-\infty, -2) \cup (-17/11, \infty)$ с $(-2, 3)$, получаем интервал $(-17/11, 3)$.

Ответ: $x \in (-17/11, 3)$.