Номер 19.7, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.7. 1) $\begin{cases} x+3 > 0, \\ \log_{\frac{1}{2}} x > -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 8-x > 0, \\ \log_{5} x < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \log_{0.7} x < 1, \\ x - 0.3 > 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 9-x < 0, \\ \log_{\frac{1}{6}} x > -1. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x+3 > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} x > -1 \end{cases} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Теперь решим первое неравенство системы:

$x+3 > 0 \implies x > -3$.

Далее решим второе неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}} x > -1$.

Представим правую часть в виде логарифма с таким же основанием:

$-1 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-1} = \log_{\frac{1}{2}} 2$.

Получаем неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}} x > \log_{\frac{1}{2}} 2$.

Так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$.

Теперь необходимо найти пересечение всех полученных условий:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x > -3 \\ x < 2 \end{cases} $

Объединяя условия $x > 0$ и $x > -3$, получаем более сильное условие $x > 0$. Таким образом, система сводится к $0 < x < 2$.

Решением является интервал $(0; 2)$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 8-x > 0 \\ \log_{5} x < 2 \end{cases} $.

ОДЗ для логарифма: $x > 0$.

Решим первое неравенство:

$8-x > 0 \implies x < 8$.

Решим второе неравенство:

$\log_{5} x < 2$.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 5:

$2 = \log_{5} 5^2 = \log_{5} 25$.

Получаем неравенство:

$\log_{5} x < \log_{5} 25$.

Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$x < 25$.

Найдем пересечение всех условий:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x < 8 \\ x < 25 \end{cases} $

Объединяя условия $x < 8$ и $x < 25$, получаем более сильное условие $x < 8$. Таким образом, система сводится к $0 < x < 8$.

Решением является интервал $(0; 8)$.

Ответ: $x \in (0; 8)$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \log_{0.7} x < 1 \\ x - 0.3 > 0 \end{cases} $.

ОДЗ для логарифма: $x > 0$.

Решим первое неравенство:

$\log_{0.7} x < 1$.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0.7:

$1 = \log_{0.7} 0.7$.

Получаем неравенство:

$\log_{0.7} x < \log_{0.7} 0.7$.

Так как основание логарифма $0.7 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 0.7$.

Решим второе неравенство:

$x - 0.3 > 0 \implies x > 0.3$.

Найдем пересечение всех условий:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x > 0.7 \\ x > 0.3 \end{cases} $

Пересечением этих трех условий является наиболее сильное из них: $x > 0.7$.

Решением является интервал $(0.7; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0.7; +\infty)$.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 9-x < 0 \\ \log_{\frac{1}{6}} x > -1 \end{cases} $.

ОДЗ для логарифма: $x > 0$.

Решим первое неравенство:

$9-x < 0 \implies 9 < x \implies x > 9$.

Решим второе неравенство:

$\log_{\frac{1}{6}} x > -1$.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{6}$:

$-1 = \log_{\frac{1}{6}} (\frac{1}{6})^{-1} = \log_{\frac{1}{6}} 6$.

Получаем неравенство:

$\log_{\frac{1}{6}} x > \log_{\frac{1}{6}} 6$.

Так как основание логарифма $\frac{1}{6} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 6$.

Найдем пересечение всех условий:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x > 9 \\ x < 6 \end{cases} $

Условия $x > 9$ и $x < 6$ являются взаимоисключающими. Не существует числа, которое одновременно больше 9 и меньше 6. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.