Номер 19.6, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите системы неравенств (19.6—19.7):

19.6.1)

$\begin{cases} x - 18 < 0, \\ \log_3 x > 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \log_{1/3} x < -2, \\ |x+1| > 3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \ln x > 0, \\ 5 - x < 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \lg x < 1, \\ x + 7 > 0. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x-18 < 0, \\ \log_3 x > 1; \end{cases} $. Из первого неравенства $x-18 < 0$ следует, что $x < 18$. Для второго неравенства $\log_3 x > 1$ сначала определим область допустимых значений: $x > 0$. Теперь решим само неравенство. Представим $1$ в виде логарифма по основанию $3$: $1 = \log_3 3$. Получаем $\log_3 x > \log_3 3$. Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $x > 3$. Теперь найдем пересечение решений: $x < 18$, $x > 0$ и $x > 3$. Объединив условия, получаем $3 < x < 18$.

Ответ: $(3, 18)$.

2) Решим систему неравенств $ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} x < -2, \\ |x+1| > 3; \end{cases} $. Для первого неравенства $\log_{\frac{1}{3}} x < -2$ область допустимых значений: $x > 0$. Представим $-2$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$: $-2 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 9$. Получаем неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 9$. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $x > 9$. Второе неравенство $|x+1| > 3$ распадается на два случая: $x+1 > 3$ или $x+1 < -3$. Из $x+1 > 3$ следует $x > 2$. Из $x+1 < -3$ следует $x < -4$. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$. Теперь найдем пересечение решений системы: $x > 9$ и $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$. Общим решением является $x > 9$.

Ответ: $(9, \infty)$.

3) Решим систему неравенств $ \begin{cases} \ln x > 0, \\ 5-x < 0; \end{cases} $. Из первого неравенства $\ln x > 0$ (натуральный логарифм, основание $e > 1$) следует, что $x > e^0$, то есть $x > 1$. Область определения $x>0$ выполняется. Из второго неравенства $5-x < 0$ следует, что $5 < x$, или $x > 5$. Найдем пересечение решений $x > 1$ и $x > 5$. Общим решением системы является $x > 5$.

Ответ: $(5, \infty)$.

4) Решим систему неравенств $ \begin{cases} \lg x < 1, \\ x+7 > 0. \end{cases} $. Для первого неравенства $\lg x < 1$ (десятичный логарифм, основание $10 > 1$) сначала определим область допустимых значений: $x > 0$. Решим неравенство: $\lg x < \lg 10^1$, откуда $x < 10$. С учетом области определения, решение первого неравенства: $0 < x < 10$. Из второго неравенства $x+7 > 0$ следует, что $x > -7$. Найдем пересечение решений $0 < x < 10$ и $x > -7$. Общим решением системы является интервал $0 < x < 10$.

Ответ: $(0, 10)$.