Номер 19.5, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.5. 1) $log_{1/3}(x + 4) > log_{1/3}(x^2 + 2x - 2);$

2) $1 + log_2(x - 2) > log_2(x^2 - 3x + 2);$

3) $lg(x - 2) + lg(27 - x) < 2;$

4) $lg(2x - 3) > lg(x + 1).$

1) $\log_{\frac{1}{3}}(x + 4) > \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 2x - 2)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 4 > 0 \\ x^2 + 2x - 2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > -4$.

Для второго неравенства $x^2 + 2x - 2 > 0$ найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 2 = 0$.

$D = 2^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$, $\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

$x_1 = \frac{-2 - 2\sqrt{3}}{2} = -1 - \sqrt{3}$.

$x_2 = \frac{-2 + 2\sqrt{3}}{2} = -1 + \sqrt{3}$.

Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства $x^2 + 2x - 2 > 0$ есть $x \in (-\infty; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Пересекая с условием $x > -4$, получаем ОДЗ: $x \in (-4; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x + 4 < x^2 + 2x - 2$

$x^2 + x - 6 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Решение неравенства $x^2 + x - 6 > 0$: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ.

ОДЗ: $x \in (-4; -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$. (Учтем, что $-1 - \sqrt{3} \approx -2.73$ и $-1 + \sqrt{3} \approx 0.73$).

Решение: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Пересечение интервала $(-\infty; -3)$ с ОДЗ дает $(-4; -3)$.

Пересечение интервала $(2; +\infty)$ с ОДЗ дает $(2; +\infty)$.

Объединяя результаты, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-4; -3) \cup (2; +\infty)$.

2) $1 + \log_2(x - 2) > \log_2(x^2 - 3x + 2)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства $x > 2$.

Второе неравенство $x^2 - 3x + 2 > 0$ можно разложить на множители: $(x - 1)(x - 2) > 0$. Решением является $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

Пересекая оба условия ($x > 2$ и $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$), получаем ОДЗ: $x > 2$.

Преобразуем исходное неравенство. Представим $1$ как $\log_2(2)$:

$\log_2(2) + \log_2(x - 2) > \log_2(x^2 - 3x + 2)$

$\log_2(2(x - 2)) > \log_2(x^2 - 3x + 2)$

$\log_2(2x - 4) > \log_2(x^2 - 3x + 2)$

Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$2x - 4 > x^2 - 3x + 2$

$x^2 - 5x + 6 < 0$

Разложим на множители: $(x - 2)(x - 3) < 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (2; 3)$.

С учетом ОДЗ ($x > 2$), решение $x \in (2; 3)$ полностью входит в область допустимых значений.

Ответ: $x \in (2; 3)$.

3) $\lg(x - 2) + \lg(27 - x) < 2$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 27 - x > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x > 2 \\ x < 27 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (2; 27)$.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов. $\lg$ - это логарифм по основанию 10.

$\lg((x - 2)(27 - x)) < 2$

Представим $2$ как $\lg(10^2) = \lg(100)$.

$\lg((x - 2)(27 - x)) < \lg(100)$

Так как основание $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$(x - 2)(27 - x) < 100$

$27x - x^2 - 54 + 2x < 100$

$-x^2 + 29x - 54 - 100 < 0$

$-x^2 + 29x - 154 < 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 29x + 154 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 29x + 154 = 0$.

$D = (-29)^2 - 4(1)(154) = 841 - 616 = 225$, $\sqrt{D} = 15$.

$x_1 = \frac{29 - 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{29 + 15}{2} = \frac{44}{2} = 22$.

Решение неравенства $x^2 - 29x + 154 > 0$: $x \in (-\infty; 7) \cup (22; +\infty)$.

Пересечем полученное решение с ОДЗ $x \in (2; 27)$.

Пересечение $(-\infty; 7) \cup (22; +\infty)$ с $(2; 27)$ дает $(2; 7) \cup (22; 27)$.

Ответ: $x \in (2; 7) \cup (22; 27)$.

4) $\lg(2x - 3) > \lg(x + 1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x > 3 \\ x > -1 \end{cases}$

$\begin{cases} x > 1.5 \\ x > -1 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 1.5$.

Решим неравенство. Так как основание логарифма $10 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$2x - 3 > x + 1$

$2x - x > 1 + 3$

$x > 4$

Сравним полученное решение с ОДЗ.

Решение $x > 4$ полностью удовлетворяет условию ОДЗ $x > 1.5$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.