Номер 19.11, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.11. 1)

$1)\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}(x^2-1)} > 1;$

$2)2^{\log_2(x^2-1)} < 2;$

$3)\left(\frac{1}{6}\right)^{\log_{\frac{1}{6}}(x-1)} > 7^{\log_7(2-x)};$

$4)0.9^{\log_{0.9}(x^2+x)} < 6^{\log_6(x+3)}.$

1) Дано неравенство $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 1)} > 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$x^2 - 1 > 0$

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Теперь воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$ для левой части неравенства. В нашем случае $a=\frac{1}{2}$ и $b=x^2-1$.

Неравенство принимает вид:

$x^2 - 1 > 1$

$x^2 - 2 > 0$

$(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение этого решения с ОДЗ. Так как $-\sqrt{2} \approx -1.414$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-\sqrt{2} < -1$ и $\sqrt{2} > 1$. Это означает, что интервалы $(-\infty, -\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}, \infty)$ полностью входят в ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

2) Дано неравенство $2^{\log_2(x^2 - 1)} < 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) та же, что и в предыдущем задании, так как аргумент логарифма тот же:

$x^2 - 1 > 0 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к левой части:

$x^2 - 1 < 2$

$x^2 - 3 < 0$

$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0$

Решением этого квадратного неравенства является интервал $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Нам нужно найти общие точки для интервалов $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ и $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Учитывая, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, пересечением будут интервалы $(-\sqrt{3}, -1)$ и $(1, \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}, -1) \cup (1, \sqrt{3})$.

3) Дано неравенство $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}}(x - 1)} > 7^{\log_7(2 - x)}$.

Определим ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 2 - x > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует $x > 1$, из второго $x < 2$.

ОДЗ: $x \in (1, 2)$.

Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к обеим частям неравенства:

$x - 1 > 2 - x$

$x + x > 2 + 1$

$2x > 3$

$x > \frac{3}{2}$ или $x > 1.5$.

Теперь найдем пересечение решения $x > 1.5$ с ОДЗ $x \in (1, 2)$.

Общим решением будет интервал $(\frac{3}{2}, 2)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}, 2)$.

4) Дано неравенство $0.9^{\log_{0.9}(x^2 + x)} < 6^{\log_6(x+3)}$.

Найдем ОДЗ из системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 + x > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство: $x(x+1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Решаем второе неравенство: $x > -3$.

Пересекая эти два множества, получаем ОДЗ: $x \in (-3, -1) \cup (0, \infty)$.

Упростим исходное неравенство, применив основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к обеим частям:

$x^2 + x < x + 3$

$x^2 < 3$

$x^2 - 3 < 0$

$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0$

Решением является интервал $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-3, -1) \cup (0, \infty)$.

Пересечение интервала $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ с множеством $(-3, -1) \cup (0, \infty)$ дает два интервала: $(-\sqrt{3}, -1)$ и $(0, \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}, -1) \cup (0, \sqrt{3})$.