Номер 19.12, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите системы неравенств (19.12–19.13):

19.12. 1) $\begin{cases} \log_{0.2}(x + 1) > -1, \\ 2x - 1 < 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \lg(1 - x) < 1, \\ 3 - x < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \ln(x + 5) < 0, \\ x + 15 > 6x; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 11x + 12 > 13x, \\ \log_7 (31 - 2x) < 1. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:$\begin{cases} \log_{0.2}(x+1) > -1, \\ 2x-1 < 5\end{cases}$

Решим первое неравенство: $\log_{0.2}(x+1) > -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, т.е. $x+1 > 0$, откуда $x > -1$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $-1 = \log_{0.2}(0.2^{-1}) = \log_{0.2}(5)$.

Получаем неравенство: $\log_{0.2}(x+1) > \log_{0.2}(5)$.

Так как основание логарифма $0.2$ меньше 1 ($0 < 0.2 < 1$), при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x+1 < 5$

$x < 4$

С учетом ОДЗ ($x > -1$), получаем решение первого неравенства: $-1 < x < 4$, что соответствует интервалу $x \in (-1, 4)$.

Решим второе неравенство: $2x-1 < 5$.

$2x < 5+1$

$2x < 6$

$x < 3$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть интервалов $(-1, 4)$ и $(-\infty, 3)$.

Пересечением является интервал $(-1, 3)$.

Ответ: $x \in (-1, 3)$.

2) Решим систему неравенств:$\begin{cases} \lg(1-x) < 1, \\ 3-x < 2\end{cases}$

Решим первое неравенство: $\lg(1-x) < 1$.

ОДЗ: $1-x > 0$, откуда $x < 1$.

$\lg(1-x)$ — это десятичный логарифм $\log_{10}(1-x)$. Основание $10 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

Представим $1$ как $\lg(10)$.

$\lg(1-x) < \lg(10)$

$1-x < 10$

$-x < 9$

$x > -9$

С учетом ОДЗ ($x < 1$), решение первого неравенства: $-9 < x < 1$, или $x \in (-9, 1)$.

Решим второе неравенство: $3-x < 2$.

$-x < 2-3$

$-x < -1$

$x > 1$

Решение второго неравенства: $x \in (1, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-9, 1) \cap (1, \infty)$.

Множества не пересекаются, так как нет чисел, которые одновременно меньше 1 и больше 1.

Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).

3) Решим систему неравенств:$\begin{cases} \ln(x+5) < 0, \\ x+15 > 6x\end{cases}$

Решим первое неравенство: $\ln(x+5) < 0$.

ОДЗ: $x+5 > 0$, откуда $x > -5$.

$\ln(x+5)$ — это натуральный логарифм $\log_e(x+5)$. Основание $e \approx 2.718 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

Представим $0$ как $\ln(1)$.

$\ln(x+5) < \ln(1)$

$x+5 < 1$

$x < -4$

С учетом ОДЗ ($x > -5$), решение первого неравенства: $-5 < x < -4$, или $x \in (-5, -4)$.

Решим второе неравенство: $x+15 > 6x$.

$15 > 6x-x$

$15 > 5x$

$3 > x$, или $x < 3$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-5, -4) \cap (-\infty, 3)$.

Пересечением является интервал $(-5, -4)$.

Ответ: $x \in (-5, -4)$.

4) Решим систему неравенств:$\begin{cases} 11x+12 > 13x, \\ \log_7(31-2x) < 1\end{cases}$

Решим первое неравенство: $11x+12 > 13x$.

$12 > 13x-11x$

$12 > 2x$

$6 > x$, или $x < 6$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 6)$.

Решим второе неравенство: $\log_7(31-2x) < 1$.

ОДЗ: $31-2x > 0$, откуда $2x < 31$, т.е. $x < 15.5$.

Основание логарифма $7 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

Представим $1$ как $\log_7(7)$.

$\log_7(31-2x) < \log_7(7)$

$31-2x < 7$

$-2x < 7-31$

$-2x < -24$

$x > 12$

С учетом ОДЗ ($x < 15.5$), решение второго неравенства: $12 < x < 15.5$, или $x \in (12, 15.5)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, 6) \cap (12, 15.5)$.

Множества не пересекаются, так как нет чисел, которые одновременно меньше 6 и больше 12.

Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).