Номер 6, страница 122 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6. Решите систему неравенств $ \begin{cases} x^2 - 4 > 0, \\ \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} < 5; \end{cases} $

A $ [-2; 2]; $ B) $ (-\infty; -2]; $ C) $ [2; +\infty); $ D) $ (0; +\infty). $

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства $x^2 - 4 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Корнями соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ являются точки $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Так как знак неравенства строгий (">"), а ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх, решением является область вне корней.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Решение второго неравенства $(\frac{1}{5})^{x+1} < 5$

Это показательное неравенство. Приведем обе части к одному основанию, например, к основанию 5. Учитывая, что $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, неравенство можно переписать в виде:

$(5^{-1})^{x+1} < 5^1$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$5^{-(x+1)} < 5^1$

$5^{-x-1} < 5^1$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$-x - 1 < 1$

$-x < 1 + 1$

$-x < 2$

Умножим обе части неравенства на -1, не забыв при этом изменить знак неравенства на противоположный:

$x > -2$

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-2; +\infty)$.

Нахождение решения системы

Решением системы является пересечение множеств решений, найденных для каждого неравенства:

$x \in ((-\infty; -2) \cup (2; +\infty)) \cap (-2; +\infty)$

Для нахождения пересечения необходимо выбрать те значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Условие $x > -2$ исключает интервал $(-\infty; -2)$. Следовательно, нам нужно найти пересечение оставшегося интервала $(2; +\infty)$ с интервалом $(-2; +\infty)$.

Общим решением для этих двух условий является интервал $(2; +\infty)$.

Таким образом, решение системы неравенств: $x \in (2; +\infty)$.

Сравнивая полученное решение с предложенными вариантами, можно заметить, что оно не совпадает ни с одним из них. Наиболее близкий вариант C) $[2; +\infty)$ был бы верным, если бы первое неравенство было нестрогим ($x^2 - 4 \ge 0$), что привело бы к включению точки $x=2$ в ответ. Однако, исходя из точных условий, представленных в задаче, правильным решением является строгий интервал.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$