Номер 19.13, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.13. 1) $\begin{cases} x^2 - 4 > 0, \\ \log_{\frac{1}{7}} (x+2) \leq -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 9 > 0, \\ \log_2 (x-3) < 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \log_{81} (x+2) > \frac{1}{2} \\ 36 - x^2 > 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \log_3 (x-5) < 1, \\ x^2 - 16 > 0. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:$\begin{cases}x^2 - 4 \ge 0, \\\log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le -1.\end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$.

Разложив на множители левую часть, получаем: $(x-2)(x+2) \ge 0$.

Корнями соответствующего уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство выполняется при $x$ вне отрезка между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $\log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le -1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под логарифмом должно быть строго положительным.

$x+2 > 0 \implies x > -2$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $-1 = \log_{\frac{1}{7}}((\frac{1}{7})^{-1}) = \log_{\frac{1}{7}}(7)$.

Получаем неравенство: $\log_{\frac{1}{7}}(x+2) \le \log_{\frac{1}{7}}(7)$.

Так как основание логарифма $\frac{1}{7}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{7} < 1$), при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x+2 \ge 7 \implies x \ge 5$.

Объединим все условия: решение первого неравенства, решение второго и ОДЗ.

$x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$

$x \ge 5$

$x > -2$

Пересечением этих трех условий является промежуток $x \ge 5$.

Ответ: $x \in [5, +\infty)$.

2) Решим систему неравенств:$\begin{cases}x^2 - 9 \ge 0, \\\log_2(x-3) \le 2.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 9 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-3)(x+3) \ge 0$.

Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\log_2(x-3) \le 2$.

ОДЗ: $x-3 > 0 \implies x > 3$.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2: $2 = \log_2(2^2) = \log_2(4)$.

Получаем: $\log_2(x-3) \le \log_2(4)$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x-3 \le 4 \implies x \le 7$.

Найдем пересечение решений.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

Решение второго неравенства с учетом ОДЗ: $x \in (3, 7]$.

Пересечение множеств $((-\infty, -3] \cup [3, +\infty))$ и $(3, 7]$ дает промежуток $(3, 7]$.

Ответ: $x \in (3, 7]$.

3) Решим систему неравенств:$\begin{cases}\log_{81}(x+2) > \frac{1}{2}, \\36 - x^2 > 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $\log_{81}(x+2) > \frac{1}{2}$.

ОДЗ: $x+2 > 0 \implies x > -2$.

Представим правую часть: $\frac{1}{2} = \log_{81}(81^{\frac{1}{2}}) = \log_{81}(\sqrt{81}) = \log_{81}(9)$.

Получаем: $\log_{81}(x+2) > \log_{81}(9)$.

Основание $81 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x+2 > 9 \implies x > 7$.

Решим второе неравенство: $36 - x^2 > 0$.

$x^2 < 36$.

Это равносильно $|x| < 6$, то есть $-6 < x < 6$.

Решение второго неравенства: $x \in (-6, 6)$.

Найдем пересечение решений.

Решение первого неравенства с учетом ОДЗ: $x \in (7, +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-6, 6)$.

Множества $(7, +\infty)$ и $(-6, 6)$ не имеют общих точек.

Ответ: нет решений.

4) Решим систему неравенств:$\begin{cases}\log_3(x-5) < 1, \\x^2 - 16 > 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство: $\log_3(x-5) < 1$.

ОДЗ: $x-5 > 0 \implies x > 5$.

Представим правую часть: $1 = \log_3(3^1) = \log_3(3)$.

Получаем: $\log_3(x-5) < \log_3(3)$.

Основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x-5 < 3 \implies x < 8$.

С учетом ОДЗ, решение первого неравенства: $5 < x < 8$, то есть $x \in (5, 8)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 16 > 0$.

Разложим на множители: $(x-4)(x+4) > 0$.

Корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.

Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

Найдем пересечение решений.

Решение первого неравенства: $x \in (5, 8)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

Пересечение множеств $(5, 8)$ и $((-\infty, -4) \cup (4, +\infty))$ есть интервал $(5, 8)$.

Ответ: $x \in (5, 8)$.