Номер 10, страница 122 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10. Решите систему неравенств $ \begin{cases} \log_1 x > 0, \\ 0.19^{x^2} > 0.19^x \end{cases} $

A) $(0; 1);$

B) $(0; 1];$

C) $(0; +\infty);$

D) нет решения.

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решение неравенства $log_2 x > 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции определяется условием, что ее аргумент должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 2: $0 = log_2 1$.

Неравенство принимает вид: $log_2 x > log_2 1$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $y = log_2 x$ является возрастающей. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$x > 1$.

Полученное решение $x > 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$). Таким образом, решение первого неравенства — это интервал $x \in (1; +\infty)$.

2. Решение неравенства $0,19^{x^2} > 0,19^x$

Данное неравенство является показательным. Основание степени равно $0,19$.

Так как основание $0 < 0,19 < 1$, показательная функция $y = 0,19^t$ является убывающей. Это означает, что при сравнении показателей степени знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x^2 < x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x < 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства применим метод интервалов. Корни уравнения $x(x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Выражение $x(x - 1)$ будет отрицательным на интервале между корнями.

Следовательно, решение второго неравенства — это интервал $x \in (0; 1)$.

3. Нахождение решения системы

Решением системы является пересечение множеств решений первого и второго неравенств.

Решение первого неравенства: $x \in (1; +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (0; 1)$.

Найдем пересечение этих интервалов: $(1; +\infty) \cap (0; 1)$.

Данные интервалы не имеют общих точек, следовательно, их пересечение является пустым множеством ($\emptyset$).

Ответ: нет решения.