Номер 19.2, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.2. 1) $log_6(4x + 1) < 1$;

2) $log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) > -1$;

3) $log_{0.4}(x + 0.6) < 1$;

4) $log_{0.2}(7 - x) > -1.$

1) Решим неравенство $\log_6(4x + 1) < 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для этого аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$4x + 1 > 0$

$4x > -1$

$x > -1/4$

$x > -0.25$

Теперь решим само неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 6:

$1 = \log_6(6^1) = \log_6(6)$

Неравенство принимает вид:

$\log_6(4x + 1) < \log_6(6)$

Так как основание логарифма $6 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$4x + 1 < 6$

$4x < 6 - 1$

$4x < 5$

$x < 5/4$

$x < 1.25$

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x > -0.25 \\ x < 1.25 \end{cases}$

Решением системы является пересечение интервалов, то есть $x \in (-0.25; 1.25)$.

Ответ: $x \in (-0.25; 1.25)$.

2) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) > -1$.

Найдем ОДЗ:

$3 - 2x > 0$

$3 > 2x$

$x < 3/2$

$x < 1.5$

Представим -1 как логарифм по основанию $1/3$:

$-1 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}}(3)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}}(3 - 2x) > \log_{\frac{1}{3}}(3)$

Так как основание логарифма $a = 1/3$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3 - 2x < 3$

$-2x < 0$

При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства снова меняется:

$x > 0$

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x < 1.5 \\ x > 0 \end{cases}$

Решением системы является интервал $x \in (0; 1.5)$.

Ответ: $x \in (0; 1.5)$.

3) Решим неравенство $\log_{0.4}(x + 0.6) < 1$.

Найдем ОДЗ:

$x + 0.6 > 0$

$x > -0.6$

Представим 1 как логарифм по основанию 0.4:

$1 = \log_{0.4}(0.4^1) = \log_{0.4}(0.4)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.4}(x + 0.6) < \log_{0.4}(0.4)$

Так как основание логарифма $a = 0.4$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x + 0.6 > 0.4$

$x > 0.4 - 0.6$

$x > -0.2$

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x > -0.6 \\ x > -0.2 \end{cases}$

Решением системы является более сильное неравенство $x > -0.2$, то есть интервал $x \in (-0.2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-0.2; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\log_{0.2}(7 - x) > -1$.

Найдем ОДЗ:

$7 - x > 0$

$7 > x$

$x < 7$

Представим -1 как логарифм по основанию 0.2:

$-1 = \log_{0.2}(0.2^{-1}) = \log_{0.2}((\frac{1}{5})^{-1}) = \log_{0.2}(5)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.2}(7 - x) > \log_{0.2}(5)$

Так как основание логарифма $a = 0.2$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$7 - x < 5$

$-x < 5 - 7$

$-x < -2$

При делении на -1 знак неравенства снова меняется:

$x > 2$

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x < 7 \\ x > 2 \end{cases}$

Решением системы является интервал $x \in (2; 7)$.

Ответ: $x \in (2; 7)$.