Номер 18.11, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.11. 1) $5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 > 0;$

2) $13^{2x} - 14 \cdot 13^x + 13 \le 0;$

3) $3^{x^2} + 9^{x+1} - 810 > 0;$

4) $2 \cdot 4^{\cos x} - 3 \cdot 2^{\cos x} + 1 < 0.$

1) $5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 > 0$

Данное неравенство является показательным. Запишем $5^{2x}$ как $(5^x)^2$:

$(5^x)^2 - 2 \cdot 5^x - 15 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 2t - 15 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 2t - 15 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $(t - 5)(t + 3) > 0$.

Решением этого неравенства являются интервалы $t < -3$ и $t > 5$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем, что единственное подходящее решение - это $t > 5$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$5^x > 5$

$5^x > 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) $13^{2x} - 14 \cdot 13^x + 13 \le 0$

Перепишем неравенство, используя свойство степени $13^{2x} = (13^x)^2$:

$(13^x)^2 - 14 \cdot 13^x + 13 \le 0$

Введем замену переменной $t = 13^x$. Очевидно, что $t > 0$.

Получим квадратное неравенство:

$t^2 - 14t + 13 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 14t + 13 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 13$.

Разложим на множители: $(t - 1)(t - 13) \le 0$.

Решением этого неравенства является отрезок $1 \le t \le 13$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$1 \le 13^x \le 13$

Представим концы интервала в виде степени с основанием 13:

$13^0 \le 13^x \le 13^1$

Так как основание степени $13 > 1$, то при переходе к показателям степени знаки неравенства сохраняются:

$0 \le x \le 1$

Ответ: $x \in [0; 1]$.

3) $3^{x+2} + 9^{x+1} - 810 > 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$3^x \cdot 3^2 + 9^x \cdot 9^1 - 810 > 0$

$9 \cdot 3^x + 9 \cdot (3^2)^x - 810 > 0$

$9 \cdot 3^x + 9 \cdot (3^x)^2 - 810 > 0$

Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

$9 \cdot (3^x)^2 + 9 \cdot 3^x - 810 > 0$

$9t^2 + 9t - 810 > 0$

Разделим все неравенство на 9:

$t^2 + t - 90 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + t - 90 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 9$ и $t_2 = -10$.

Разложим на множители: $(t - 9)(t + 10) > 0$.

Решением являются интервалы $t < -10$ и $t > 9$.

С учетом условия $t > 0$, остается только $t > 9$.

Вернемся к переменной $x$:

$3^x > 9$

$3^x > 3^2$

Так как основание $3 > 1$, то $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) $2 \cdot 4^{\cos x} - 3 \cdot 2^{\cos x} + 1 < 0$

Представим $4^{\cos x}$ как $(2^2)^{\cos x} = (2^{\cos x})^2$.

$2 \cdot (2^{\cos x})^2 - 3 \cdot 2^{\cos x} + 1 < 0$

Произведем замену переменной. Пусть $t = 2^{\cos x}$.

Так как область значений косинуса $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$, то область значений для $t$ будет $[2^{-1}; 2^1]$, то есть $1/2 \le t \le 2$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$2t^2 - 3t + 1 < 0$

Найдем корни уравнения $2t^2 - 3t + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни $t_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{3+1}{4} = 1$.

Разложим на множители: $2(t - 1/2)(t - 1) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $1/2 < t < 1$.

Это решение полностью входит в область допустимых значений $t$.

Сделаем обратную замену:

$1/2 < 2^{\cos x} < 1$

Представим границы в виде степени с основанием 2:

$2^{-1} < 2^{\cos x} < 2^0$

Так как основание $2 > 1$, то для показателей степени знаки неравенства сохраняются:

$-1 < \cos x < 0$

Это двойное тригонометрическое неравенство. Решим его с помощью единичной окружности. Значения косинуса соответствуют абсциссам точек на окружности. Нас интересуют точки, у которых абсцисса находится в интервале $(-1; 0)$. Это дуги во второй и третьей четвертях, не включая точки, соответствующие углам $\pi/2$, $\pi$ и $3\pi/2$.

Решением является объединение интервалов:

$x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.