Номер 18.5, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.5. 1) $5^{2x+1} + 3 \cdot 5^{2x-1} > 3500;$

2) $3^{x+1} + 3^{x-1} \geq 270;$

3) $10^{x-5} + 10^{x-2} < 1001;$

4) $2^x - 2^{x-4} - 15 < 0.$

1) $5^{2x+1} + 3 \cdot 5^{2x-1} > 3500$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:

$5^{2x} \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^{2x} \cdot 5^{-1} > 3500$

$5 \cdot 5^{2x} + 3 \cdot \frac{1}{5} \cdot 5^{2x} > 3500$

Вынесем общий множитель $5^{2x}$ за скобки:

$5^{2x} \left(5 + \frac{3}{5}\right) > 3500$

Упростим выражение в скобках:

$5^{2x} \left(\frac{25}{5} + \frac{3}{5}\right) > 3500$

$5^{2x} \cdot \frac{28}{5} > 3500$

Выразим $5^{2x}$:

$5^{2x} > 3500 \cdot \frac{5}{28}$

Сократим дробь: $3500 / 28 = 125$.

$5^{2x} > 125 \cdot 5$

$5^{2x} > 625$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 5:

$625 = 5^4$

Получаем неравенство:

$5^{2x} > 5^4$

Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x > 4$

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) $3^{x+1} + 3^{x-1} \ge 270$

Используем свойства степеней для преобразования левой части:

$3^x \cdot 3^1 + 3^x \cdot 3^{-1} \ge 270$

$3 \cdot 3^x + \frac{1}{3} \cdot 3^x \ge 270$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x \left(3 + \frac{1}{3}\right) \ge 270$

$3^x \left(\frac{9}{3} + \frac{1}{3}\right) \ge 270$

$3^x \cdot \frac{10}{3} \ge 270$

Выразим $3^x$:

$3^x \ge 270 \cdot \frac{3}{10}$

$3^x \ge 27 \cdot 3$

$3^x \ge 81$

Представим 81 как степень с основанием 3:

$81 = 3^4$

Получаем неравенство:

$3^x \ge 3^4$

Так как основание степени $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \ge 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

3) $10^{x-5} + 10^{x-2} < 1001$

Преобразуем левую часть, используя свойства степеней:

$10^x \cdot 10^{-5} + 10^x \cdot 10^{-2} < 1001$

Вынесем $10^x$ за скобки:

$10^x \left(10^{-5} + 10^{-2}\right) < 1001$

$10^x \left(\frac{1}{100000} + \frac{1}{100}\right) < 1001$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$10^x \left(\frac{1}{100000} + \frac{1000}{100000}\right) < 1001$

$10^x \cdot \frac{1001}{100000} < 1001$

Выразим $10^x$:

$10^x < 1001 \cdot \frac{100000}{1001}$

$10^x < 100000$

Представим 100000 как степень с основанием 10:

$100000 = 10^5$

Получаем неравенство:

$10^x < 10^5$

Так как основание $10 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$x < 5$

Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

4) $2^{2x} - 2^{x+4} - 15 \le 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$(2^x)^2 - 2^x \cdot 2^4 - 15 \le 0$

$(2^x)^2 - 16 \cdot 2^x - 15 \le 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - 16t - 15 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 16t - 15 = 0$ через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 256 + 60 = 316$

Корни уравнения равны:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{316}}{2} = \frac{16 \pm 2\sqrt{79}}{2} = 8 \pm \sqrt{79}$

Парабола $y = t^2 - 16t - 15$ направлена ветвями вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями:

$8 - \sqrt{79} \le t \le 8 + \sqrt{79}$

Теперь учтем ограничение $t > 0$. Оценим значение $\sqrt{79}$: $8^2 = 64$, $9^2 = 81$, следовательно $8 < \sqrt{79} < 9$.Это означает, что корень $8 - \sqrt{79}$ является отрицательным числом.

Объединяя условия $8 - \sqrt{79} \le t \le 8 + \sqrt{79}$ и $t > 0$, получаем:

$0 < t \le 8 + \sqrt{79}$

Произведем обратную замену $t = 2^x$:

$0 < 2^x \le 8 + \sqrt{79}$

Левая часть неравенства, $2^x > 0$, верна для любого действительного $x$. Решим правую часть:

$2^x \le 8 + \sqrt{79}$

Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x \le \log_2(8 + \sqrt{79})$

Ответ: $x \in (-\infty; \log_2(8 + \sqrt{79})]$.