Номер 18.1, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите неравенства (18.1–18.7):

18.1. 1) $2^x > 32;$

2) $(\frac{4}{7})^x < \frac{16}{49};$

3) $6^{x-4} < 36;$

4) $(\frac{3}{5})^{x+3} > \frac{27}{125}.$

1) Дано показательное неравенство $2^x > 32$.

Чтобы решить его, приведем обе части к одному основанию. В данном случае это основание 2.

Правая часть $32$ может быть представлена как $2^5$, так как $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Неравенство принимает вид: $2^x > 2^5$.

Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Это означает, что если значение функции больше, то и ее аргумент (показатель степени) тоже больше. Поэтому знак неравенства для показателей сохраняется.

Сравнивая показатели, получаем: $x > 5$.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

2) Дано неравенство $(\frac{4}{7})^x < \frac{16}{49}$.

Приведем обе части к одному основанию $\frac{4}{7}$.

Представим правую часть $\frac{16}{49}$ в виде степени с основанием $\frac{4}{7}$. Поскольку $16 = 4^2$ и $49 = 7^2$, то $\frac{16}{49} = \frac{4^2}{7^2} = (\frac{4}{7})^2$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{4}{7})^x < (\frac{4}{7})^2$.

Основание степени $a = \frac{4}{7}$ меньше единицы, но больше нуля ($0 < \frac{4}{7} < 1$). Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что если значение функции меньше, то ее аргумент (показатель степени) наоборот, больше. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

Сравнивая показатели, получаем: $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3) Дано неравенство $6^{x-4} < 36$.

Приведем обе части к основанию 6. Правая часть $36$ это $6^2$.

Неравенство принимает вид: $6^{x-4} < 6^2$.

Основание степени $a=6$ больше единицы ($6 > 1$), поэтому показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется.

Переходим к неравенству для показателей: $x-4 < 2$.

Решаем полученное линейное неравенство, прибавив 4 к обеим частям: $x < 2 + 4$, откуда $x < 6$.

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

4) Дано неравенство $(\frac{3}{5})^{x+3} > \frac{27}{125}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{3}{5}$.

Правая часть $\frac{27}{125}$ может быть представлена как степень числа $\frac{3}{5}$, так как $27 = 3^3$ и $125 = 5^3$. Следовательно, $\frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^3$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{5})^{x+3} > (\frac{3}{5})^3$.

Основание степени $a = \frac{3}{5}$ находится в интервале ($0; 1$), поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

Получаем неравенство для показателей: $x+3 < 3$.

Вычитаем 3 из обеих частей: $x < 3 - 3$, откуда $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.