Номер 17.12, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите системы уравнений (17.12—17.13):

17.12. 1)

$$\begin{cases} \lg x + \lg 2 = \lg y, \\ 3x - 2y = -2; \end{cases}$$

2)

$$\begin{cases} \log_2 (x+y) + \log_2 (x^2 - xy + y) = 1, \\ x - y = 0; \end{cases}$$

3)

$$\begin{cases} \left(\frac{2}{3}\right)^{2x-y} - \frac{4}{9} = 0, \\ \lg(3x - y) - 4\lg 2 = 0; \end{cases}$$

4)

$$\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{2}{15}, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 + \log_3 5. \end{cases}$$

17.12. 1)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}\lg x + \lg 2 = \lg y, \\3x - 2y = -2;\end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения. Аргументы логарифмов должны быть положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg(2x) = \lg y$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$2x = y$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases}y = 2x, \\3x - 2y = -2;\end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$3x - 2(2x) = -2$

$3x - 4x = -2$

$-x = -2$

$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в уравнение $y = 2x$:

$y = 2 \cdot 2 = 4$

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(2, 4)$ ОДЗ: $x = 2 > 0$ и $y = 4 > 0$. Условия выполняются.

Ответ: $(2, 4)$.

17.12. 2)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}\log_2(x+y) + \log_2(x^2 - xy + y^2) = 1, \\x - y = 0;\end{cases}$

ОДЗ: $x+y > 0$ и $x^2 - xy + y^2 > 0$.

Из второго уравнения системы следует, что $x = y$.

Подставим $x = y$ в первое уравнение. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_2((x+y)(x^2 - xy + y^2)) = 1$

Выражение в скобках является формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

Уравнение принимает вид:

$\log_2(x^3 + y^3) = 1$

По определению логарифма:

$x^3 + y^3 = 2^1 = 2$

Теперь решим систему:

$\begin{cases}x = y, \\x^3 + y^3 = 2;\end{cases}$

Подставим $x=y$ во второе уравнение:

$x^3 + x^3 = 2$

$2x^3 = 2$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Так как $x = y$, то $y = 1$.

Проверим решение $(1, 1)$ на соответствие ОДЗ:

$x+y = 1+1 = 2 > 0$

$x^2 - xy + y^2 = 1^2 - 1 \cdot 1 + 1^2 = 1 > 0$

Условия выполняются.

Ответ: $(1, 1)$.

17.12. 3)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}(\frac{2}{3})^{2x-y} - \frac{4}{9} = 0, \\\lg(3x-y) - 4\lg2 = 0;\end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение:

$(\frac{2}{3})^{2x-y} = \frac{4}{9}$

Так как $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$, уравнение можно переписать в виде:

$(\frac{2}{3})^{2x-y} = (\frac{2}{3})^2$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$2x - y = 2$

Теперь рассмотрим второе уравнение. ОДЗ: $3x-y > 0$.

$\lg(3x-y) - 4\lg2 = 0$

$\lg(3x-y) = 4\lg2$

Используя свойство $n \log a = \log a^n$, получаем:

$\lg(3x-y) = \lg(2^4)$

$\lg(3x-y) = \lg(16)$

Приравнивая аргументы логарифмов, получаем:

$3x - y = 16$

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases}2x - y = 2, \\3x - y = 16;\end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(3x - y) - (2x - y) = 16 - 2$

$x = 14$

Подставим значение $x$ в первое уравнение $2x - y = 2$:

$2(14) - y = 2$

$28 - y = 2$

$y = 26$

Проверим ОДЗ для решения $(14, 26)$: $3x - y = 3(14) - 26 = 42 - 26 = 16 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $(14, 26)$.

17.12. 4)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{2}{15}, \\\log_3 x + \log_3 y = 1 + \log_3 5;\end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение. Представим $1$ как $\log_3 3$ и используем свойство суммы логарифмов:

$\log_3(xy) = \log_3 3 + \log_3 5$

$\log_3(xy) = \log_3(3 \cdot 5)$

$\log_3(xy) = \log_3(15)$

Отсюда следует:

$xy = 15$

Теперь преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{y-x}{xy} = \frac{2}{15}$

Подставим в это уравнение найденное значение $xy=15$:

$\frac{y-x}{15} = \frac{2}{15}$

Умножив обе части на 15, получим:

$y - x = 2$, или $y = x + 2$

Теперь решим систему:

$\begin{cases}y = x + 2, \\xy = 15;\end{cases}$

Подставим выражение для $y$ во второе уравнение:

$x(x+2) = 15$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Согласно ОДЗ ($x > 0$), корень $x_2 = -5$ не подходит.

Следовательно, $x = 3$.

Найдем $y$:

$y = x + 2 = 3 + 2 = 5$

Решение $(3, 5)$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$ и $5 > 0$).

Ответ: $(3, 5)$.