Номер 17.6, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.6. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 8, \\ \log_3 x + \log_3 y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 14, \\ \log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} y = -1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 1, \\ x + y = 20; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \lg x - \lg y = 0, \\ 2x - y = 10. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x-y=8, \\\log_3 x+\log_3 y=2; \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$.

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 8$.

Подставив это в условие $x > 0$, получим $y + 8 > 0$, то есть $y > -8$. Совмещая с условием $y > 0$, получаем, что $y > 0$. Если $y > 0$, то $x = y+8 > 8$, что автоматически удовлетворяет условию $x > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_3(xy) = 2$

По определению логарифма:

$xy = 3^2$

$xy = 9$

Получаем систему алгебраических уравнений:

$\begin{cases} x = y+8, \\xy = 9; \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$(y+8)y = 9$

$y^2 + 8y - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=1$ и $y_2=-9$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($y>0$). Корень $y_2=-9$ не удовлетворяет условию. Корень $y_1=1$ подходит.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 1 + 8 = 9$

Пара $(9, 1)$ удовлетворяет ОДЗ. Проверим решение: $9-1=8$ и $\log_3 9 + \log_3 1 = 2+0=2$.

Ответ: $(9, 1)$.

2) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x-y=14, \\\log_{\frac{1}{2}} x+\log_{\frac{1}{2}} y=-1; \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Из первого уравнения: $x = y + 14$. Так как $x > 0$, то $y > -14$. С учетом $y > 0$, итоговое условие $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов:

$\log_{\frac{1}{2}}(xy) = -1$

По определению логарифма:

$xy = (\frac{1}{2})^{-1}$

$xy = 2$

Получаем систему:

$\begin{cases} x = y+14, \\xy = 2; \end{cases}$

Подставим $x$ из первого уравнения во второе:

$(y+14)y = 2$

$y^2 + 14y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4(1)(-2) = 196 + 8 = 204$.

$\sqrt{D} = \sqrt{204} = \sqrt{4 \cdot 51} = 2\sqrt{51}$.

$y = \frac{-14 \pm 2\sqrt{51}}{2} = -7 \pm \sqrt{51}$.

Получаем два корня: $y_1 = -7 + \sqrt{51}$ и $y_2 = -7 - \sqrt{51}$.

Проверяем на соответствие ОДЗ ($y>0$).

Так как $\sqrt{49} < \sqrt{51} < \sqrt{64}$, то $7 < \sqrt{51} < 8$.

$y_1 = -7 + \sqrt{51} > 0$, этот корень подходит.

$y_2 = -7 - \sqrt{51} < 0$, этот корень не подходит.

Найдем соответствующее значение $x$ для $y_1 = -7 + \sqrt{51}$:

$x_1 = y_1 + 14 = (-7 + \sqrt{51}) + 14 = 7 + \sqrt{51}$.

Значение $x_1$ также положительно, поэтому пара $(7 + \sqrt{51}, -7 + \sqrt{51})$ является решением.

Ответ: $(7 + \sqrt{51}, -7 + \sqrt{51})$.

3) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 1, \\x+y=20; \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$\log_4(\frac{x}{y}) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{x}{y} = 4^1$

$x = 4y$

Получаем систему:

$\begin{cases} x = 4y, \\x+y=20; \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$4y + y = 20$

$5y = 20$

$y = 4$

Найдем $x$:

$x = 4 \cdot 4 = 16$

Пара $(16, 4)$ удовлетворяет ОДЗ ($16>0$ и $4>0$). Проверим решение: $\log_4 16 - \log_4 4 = 2 - 1 = 1$ и $16+4=20$.

Ответ: $(16, 4)$.

4) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \lg x - \lg y = 0, \\2x-y=10. \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$. (lg - это десятичный логарифм $\log_{10}$)

Преобразуем первое уравнение:

$\lg x = \lg y$

Так как логарифмическая функция является монотонной, из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$x = y$

Получаем систему:

$\begin{cases} x = y, \\2x-y=10; \end{cases}$

Подставим $y=x$ во второе уравнение:

$2x - x = 10$

$x = 10$

Так как $x=y$, то $y=10$.

Пара $(10, 10)$ удовлетворяет ОДЗ ($10>0$ и $10>0$). Проверим решение: $\lg 10 - \lg 10 = 1 - 1 = 0$ и $2(10)-10 = 20-10=10$.

Ответ: $(10, 10)$.