Номер 17.7, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (17.7 – 17.11);

17.7. 1) $\log_{7}(x - 2) + \log_{7}(x + 2) = \log_{7}(4x + 41);$

2) $\log_{4}(x + 1) - \log_{4}(1 - x) = \log_{4}(2x + 3);$

3) $\log_{4}(x + 3) - \log_{4}(x - 1) = 2 - \log_{4}8;$

4) $\lg(x - 1) + \lg(x + 1) = 3\lg2 + \lg(x - 2).$

1) Исходное уравнение: $log_7(x - 2) + log_7(x + 2) = log_7(4x + 41)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ 4x + 41 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -2 \\ x > -41/4 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 2$.

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$ для левой части уравнения:

$log_7((x - 2)(x + 2)) = log_7(4x + 41)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$(x - 2)(x + 2) = 4x + 41$

$x^2 - 4 = 4x + 41$

$x^2 - 4x - 45 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):

$x_1 = 9$ удовлетворяет условию ($9 > 2$).

$x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 \ngtr 2$), поэтому это посторонний корень.

Ответ: 9.

2) Исходное уравнение: $log_4(x + 1) - log_4(1 - x) = log_4(2x + 3)$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 1 - x > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x < 1 \\ x > -1.5 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $-1 < x < 1$.

Используем свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)$ для левой части уравнения:

$log_4\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right) = log_4(2x + 3)$

Приравняем аргументы логарифмов:

$\frac{x + 1}{1 - x} = 2x + 3$

$x + 1 = (2x + 3)(1 - x)$

$x + 1 = 2x - 2x^2 + 3 - 3x$

$x + 1 = -x - 2x^2 + 3$

$2x^2 + 2x - 2 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 + x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-1 < x < 1$):

Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 + 2.24}{2} \approx 0.62$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($-1 < 0.62 < 1$).

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 - 2.24}{2} \approx -1.62$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($-1.62 \ngtr -1$).

Ответ: $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

3) Исходное уравнение: $log_4(x + 3) - log_4(x - 1) = 2 - log_4(8)$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x + 3 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > 1 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 1$.

Преобразуем уравнение. Перенесем $log_4(8)$ в левую часть и представим 2 как логарифм по основанию 4: $2 = log_4(4^2) = log_4(16)$.

$log_4(x + 3) - log_4(x - 1) + log_4(8) = 2$

Используя свойства логарифмов, объединим слагаемые в левой части:

$log_4\left(\frac{(x + 3) \cdot 8}{x - 1}\right) = 2$

По определению логарифма ($log_a(b) = c \iff a^c = b$):

$\frac{8(x + 3)}{x - 1} = 4^2$

$\frac{8x + 24}{x - 1} = 16$

$8x + 24 = 16(x - 1)$

$8x + 24 = 16x - 16$

$40 = 8x$

$x = 5$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x > 1$): $5 > 1$, условие выполняется.

Ответ: 5.

4) Исходное уравнение: $lg(x - 1) + lg(x + 1) = 3lg2 + lg(x - 2)$.

Напомним, что $lg(a)$ это $log_{10}(a)$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > -1 \\ x > 2 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 2$.

Используем свойства логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$ и $n log_a(b) = log_a(b^n)$:

$lg((x - 1)(x + 1)) = lg(2^3) + lg(x - 2)$

$lg(x^2 - 1) = lg(8) + lg(x - 2)$

$lg(x^2 - 1) = lg(8(x - 2))$

Приравняем аргументы логарифмов:

$x^2 - 1 = 8(x - 2)$

$x^2 - 1 = 8x - 16$

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней равна 8, произведение равно 15. Корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Или через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 = 2^2$

$x_1 = \frac{8 + 2}{2} = 5$

$x_2 = \frac{8 - 2}{2} = 3$

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x > 2$):

$x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 > 2$).

$x_2 = 3$ удовлетворяет условию ($3 > 2$).

Оба корня подходят.

Ответ: 3; 5.