Номер 17.5, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.5. 1) $lg (5 - x) = \frac{1}{3} lg(35 - x^3);$

2) $\log_2 \frac{x - 5}{x + 5} + \log_2 (x + 5) = 0;$

3) $\log_{\sqrt{5}} (4x - 6) - 2 = \log_{\sqrt{5}} (2x - 5);$

4) $\log_2 (3x - 6) - 1 = \log_2 (9x - 19).$

1) Исходное уравнение: $lg(5 - x) = \frac{1}{3}lg(35 - x^3)$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ 35 - x^3 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x < 5 \\ x^3 < 35 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x < 5 \\ x < \sqrt[3]{35} \end{cases}$

Так как $\sqrt[3]{35}$ находится между $3$ ($\sqrt[3]{27}$) и $4$ ($\sqrt[3]{64}$), то условие $x < \sqrt[3]{35}$ является более строгим. ОДЗ: $x < \sqrt[3]{35}$.

Теперь решим уравнение. Используем свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:

$lg(5 - x) = lg((35 - x^3)^{\frac{1}{3}})$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$5 - x = (35 - x^3)^{\frac{1}{3}}$

$5 - x = \sqrt[3]{35 - x^3}$

Возведем обе части уравнения в куб:

$(5 - x)^3 = 35 - x^3$

Раскроем скобки в левой части по формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3 = 35 - x^3$

$125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 35 - x^3$

Сократим $-x^3$ в обеих частях и перенесем все члены в одну сторону:

$15x^2 - 75x + 125 - 35 = 0$

$15x^2 - 75x + 90 = 0$

Разделим уравнение на 15:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ ($x < \sqrt[3]{35} \approx 3.27$).

Для $x_1 = 2$: $2 < \sqrt[3]{35}$ (верно).

Для $x_2 = 3$: $3 < \sqrt[3]{35}$ (верно, так как $3^3 = 27 < 35$).

Оба корня подходят.

Ответ: $2; 3$.

2) Исходное уравнение: $\log_2 \frac{x - 5}{x + 5} + \log_2 (x + 5) = 0$.

ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{x - 5}{x + 5} > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства следует, что $x > -5$. Если знаменатель $x+5$ положителен, то для того, чтобы дробь была положительной, числитель также должен быть положителен: $x - 5 > 0$, то есть $x > 5$. Это условие является наиболее строгим. ОДЗ: $x > 5$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_2 \left(\frac{x - 5}{x + 5} \cdot (x + 5)\right) = 0$

$\log_2 (x - 5) = 0$

По определению логарифма:

$x - 5 = 2^0$

$x - 5 = 1$

$x = 6$

Проверяем корень по ОДЗ ($x > 5$): $6 > 5$ (верно).

Ответ: $6$.

3) Исходное уравнение: $\log_{\sqrt{5}}(4x - 6) - 2 = \log_{\sqrt{5}}(2x - 5)$.

ОДЗ:

$\begin{cases} 4x - 6 > 0 \\ 2x - 5 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 4x > 6 \\ 2x > 5 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 1.5 \\ x > 2.5 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2.5$.

Перенесем логарифмы в одну часть уравнения, а число в другую:

$\log_{\sqrt{5}}(4x - 6) - \log_{\sqrt{5}}(2x - 5) = 2$

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_{\sqrt{5}} \frac{4x - 6}{2x - 5} = 2$

По определению логарифма:

$\frac{4x - 6}{2x - 5} = (\sqrt{5})^2$

$\frac{4x - 6}{2x - 5} = 5$

Умножим обе части на $(2x - 5)$, что не равно нулю в силу ОДЗ:

$4x - 6 = 5(2x - 5)$

$4x - 6 = 10x - 25$

$25 - 6 = 10x - 4x$

$19 = 6x$

$x = \frac{19}{6}$

Проверяем корень по ОДЗ ($x > 2.5$). $2.5 = \frac{5}{2} = \frac{15}{6}$. Так как $\frac{19}{6} > \frac{15}{6}$, корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{19}{6}$.

4) Исходное уравнение: $\log_2(3x - 6) - 1 = \log_2(9x - 19)$.

ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 6 > 0 \\ 9x - 19 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 3x > 6 \\ 9x > 19 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 2 \\ x > \frac{19}{9} \end{cases}$

Так как $\frac{19}{9} = 2\frac{1}{9} > 2$, то ОДЗ: $x > \frac{19}{9}$.

Перенесем логарифмы в одну часть уравнения:

$\log_2(3x - 6) - \log_2(9x - 19) = 1$

Используем свойство разности логарифмов:

$\log_2 \frac{3x - 6}{9x - 19} = 1$

По определению логарифма:

$\frac{3x - 6}{9x - 19} = 2^1$

$\frac{3x - 6}{9x - 19} = 2$

Умножим обе части на $(9x - 19)$:

$3x - 6 = 2(9x - 19)$

$3x - 6 = 18x - 38$

$38 - 6 = 18x - 3x$

$32 = 15x$

$x = \frac{32}{15}$

Проверяем корень по ОДЗ ($x > \frac{19}{9}$). Сравним дроби $\frac{32}{15}$ и $\frac{19}{9}$. Приведем к общему знаменателю 45: $\frac{32 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{96}{45}$ и $\frac{19 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{95}{45}$.

Так как $\frac{96}{45} > \frac{95}{45}$, то $\frac{32}{15} > \frac{19}{9}$, и корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{32}{15}$.