Номер 17.11, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.11. 1) $\log_{2}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\log_{2}x} = \frac{4}{3}$;

2) $\log_{2}^{2}(2x) = 4\log_{2}x$;

3) $\log_{3}(3^{x+1} + 3^{x}) = \log_{3}324$;

4) $\lg(x^2) + \lg(-x) = 9$.

1) $\log_2 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = \frac{4}{3}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$. Подкоренное выражение кубического корня $\log_2 x$ может быть любым действительным числом, поэтому дополнительных ограничений нет. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$ для первого слагаемого:

$\log_2 \sqrt[3]{x} = \log_2 (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \log_2 x$.

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{1}{3} \log_2 x + \sqrt[3]{\log_2 x} = \frac{4}{3}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[3]{\log_2 x}$. Тогда $t^3 = (\sqrt[3]{\log_2 x})^3 = \log_2 x$.

Подставим $t$ в уравнение:

$\frac{1}{3} t^3 + t = \frac{4}{3}$.

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$t^3 + 3t = 4$.

Перенесем все в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$t^3 + 3t - 4 = 0$.

Найдем корень этого уравнения подбором среди делителей свободного члена (-4), то есть $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

При $t=1$: $1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$. Значит, $t=1$ является корнем уравнения.

Разделим многочлен $t^3 + 3t - 4$ на $(t-1)$, чтобы найти остальные корни.

$(t^3 + 3t - 4) : (t-1) = t^2 + t + 4$.

Получаем уравнение $(t-1)(t^2 + t + 4) = 0$.

Рассмотрим квадратное уравнение $t^2 + t + 4 = 0$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением является $t=1$.

Вернемся к исходной переменной:

$\sqrt[3]{\log_2 x} = 1$.

Возведем обе части в куб:

$\log_2 x = 1^3 = 1$.

По определению логарифма:

$x = 2^1 = 2$.

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ ($x>0$). $2 > 0$, значит, корень подходит.

Ответ: $2$

2) $\log_2^2(2x) = 4\log_2 x$

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными.

$2x > 0 \implies x > 0$.

$x > 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство логарифма произведения $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$:

$\log_2(2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(1 + \log_2 x)^2 = 4\log_2 x$.

Сделаем замену. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:

$(1 + t)^2 = 4t$.

Раскроем скобки и решим квадратное уравнение:

$1 + 2t + t^2 = 4t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t-1=0 \implies t=1$.

Вернемся к переменной $x$:

$\log_2 x = 1$.

$x = 2^1 = 2$.

Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $2$

3) $\log_3(3^{x+1} + 3^x) = \log_3 324$

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.

$3^{x+1} + 3^x > 0$. Поскольку показательная функция $a^y$ всегда положительна при $a>0$, то и сумма $3^{x+1} + 3^x$ всегда будет больше нуля для любого $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$3^{x+1} + 3^x = 324$.

Преобразуем левую часть, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3^x \cdot 3^1 + 3^x = 324$.

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x (3 + 1) = 324$

$3^x \cdot 4 = 324$.

Разделим обе части на 4:

$3^x = \frac{324}{4}$

$3^x = 81$.

Представим 81 как степень тройки: $81 = 3^4$.

$3^x = 3^4$.

Следовательно, $x=4$.

Ответ: $4$

4) $\lg(x^2) + \lg(-x) = 9$

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

1) $x^2 > 0 \implies x \neq 0$.

2) $-x > 0 \implies x < 0$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x < 0$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$. Напомним, что $\lg$ - это десятичный логарифм ($\log_{10}$).

$\lg(x^2 \cdot (-x)) = 9$

$\lg(-x^3) = 9$.

По определению логарифма:

$-x^3 = 10^9$.

Умножим на -1:

$x^3 = -10^9$.

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{-10^9} = \sqrt[3]{-(10^3)^3} = -10^3 = -1000$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x<0$).

$-1000 < 0$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $-1000$