Номер 17.13, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.13. 1)

$\begin{cases} \lg(x-y)=2, \\ \lg x=\lg 3+\lg y; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x=2y, \\ \log_3 (x-y)+\log_3 (x+y)=1; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 1+\log_2 y=\log_2 (x+y), \\ \log_2 (x+y)+\log_2 (x^2-xy+y^2)=1. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \lg(x-y)=2, \\ \lg x = \lg 3 + \lg y; \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x-y > 0 \\ x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$

Из первого условия следует, что $x > y$. Учитывая, что $y > 0$, автоматически выполняется и $x > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x > y$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg x = \lg(3y)$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$x = 3y$

Теперь преобразуем первое уравнение системы, используя определение десятичного логарифма:

$x - y = 10^2$

$x - y = 100$

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x = 3y, \\ x - y = 100; \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$3y - y = 100$

$2y = 100$

$y = 50$

Теперь найдем $x$:

$x = 3 \cdot 50 = 150$

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(150, 50)$ условиям ОДЗ:

$x > y \Rightarrow 150 > 50$ (верно)

$y > 0 \Rightarrow 50 > 0$ (верно)

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(150, 50)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x=2y, \\ \log_3(x-y) + \log_3(x+y)=1; \end{cases}$

Найдем ОДЗ для второго уравнения:

$\begin{cases} x-y > 0 \\ x+y > 0 \end{cases}$

Подставим $x=2y$ из первого уравнения в условия ОДЗ:

$\begin{cases} 2y-y > 0 \\ 2y+y > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y > 0 \\ 3y > 0 \end{cases} \Rightarrow y > 0$

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_3((x-y)(x+y)) = 1$

$\log_3(x^2 - y^2) = 1$

По определению логарифма:

$x^2 - y^2 = 3^1$

$x^2 - y^2 = 3$

Теперь подставим $x=2y$ в полученное уравнение:

$(2y)^2 - y^2 = 3$

$4y^2 - y^2 = 3$

$3y^2 = 3$

$y^2 = 1$

$y_1 = 1$, $y_2 = -1$

Согласно ОДЗ ($y>0$), подходит только корень $y=1$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 2y = 2 \cdot 1 = 2$

Проверим решение $(2, 1)$, подставив его в исходные условия ОДЗ:

$x-y > 0 \Rightarrow 2-1 > 0 \Rightarrow 1 > 0$ (верно)

$x+y > 0 \Rightarrow 2+1 > 0 \Rightarrow 3 > 0$ (верно)

Ответ: $(2, 1)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y=0, \\ x^2-5y^2+4=0; \end{cases}$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:

$\log_4(x/y) = 0$

По определению логарифма:

$x/y = 4^0$

$x/y = 1$

$x = y$

Подставим $x=y$ во второе уравнение системы:

$y^2 - 5y^2 + 4 = 0$

$-4y^2 = -4$

$y^2 = 1$

$y_1 = 1$, $y_2 = -1$

Согласно ОДЗ ($y>0$), подходит только корень $y=1$.

Так как $x=y$, то $x=1$.

Решение $(1, 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(1, 1)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 1+\log_2 y = \log_2(x+y), \\ \log_2(x+y)+\log_2(x^2-xy+y^2)=1. \end{cases}$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} y > 0 \\ x+y > 0 \\ x^2-xy+y^2 > 0 \end{cases}$

Выражение $x^2-xy+y^2 = (x - y/2)^2 + 3y^2/4$. Так как $y>0$, то $3y^2/4>0$, и $(x - y/2)^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2-xy+y^2 > 0$ всегда, когда $y \ne 0$. Таким образом, ОДЗ: $y>0$ и $x+y>0$.

Преобразуем первое уравнение:

$1 = \log_2(x+y) - \log_2 y$

$1 = \log_2\left(\frac{x+y}{y}\right)$

По определению логарифма:

$\frac{x+y}{y} = 2^1$

$x+y = 2y$

$x=y$

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов:

$\log_2((x+y)(x^2-xy+y^2))=1$

Выражение в скобках является формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

$\log_2(x^3+y^3)=1$

По определению логарифма:

$x^3+y^3 = 2^1$

$x^3+y^3 = 2$

Подставим $x=y$ в полученное уравнение:

$y^3+y^3=2$

$2y^3=2$

$y^3=1$

$y=1$

Так как $x=y$, то $x=1$.

Проверим решение $(1, 1)$ на соответствие ОДЗ:

$y>0 \Rightarrow 1>0$ (верно)

$x+y>0 \Rightarrow 1+1 > 0 \Rightarrow 2 > 0$ (верно)

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(1, 1)$.