Страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (17.7 – 17.11);

17.7. 1) $\log_{7}(x - 2) + \log_{7}(x + 2) = \log_{7}(4x + 41);$

2) $\log_{4}(x + 1) - \log_{4}(1 - x) = \log_{4}(2x + 3);$

3) $\log_{4}(x + 3) - \log_{4}(x - 1) = 2 - \log_{4}8;$

4) $\lg(x - 1) + \lg(x + 1) = 3\lg2 + \lg(x - 2).$

1) Исходное уравнение: $log_7(x - 2) + log_7(x + 2) = log_7(4x + 41)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ 4x + 41 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -2 \\ x > -41/4 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 2$.

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$ для левой части уравнения:

$log_7((x - 2)(x + 2)) = log_7(4x + 41)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$(x - 2)(x + 2) = 4x + 41$

$x^2 - 4 = 4x + 41$

$x^2 - 4x - 45 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):

$x_1 = 9$ удовлетворяет условию ($9 > 2$).

$x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 \ngtr 2$), поэтому это посторонний корень.

Ответ: 9.

2) Исходное уравнение: $log_4(x + 1) - log_4(1 - x) = log_4(2x + 3)$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 1 - x > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x < 1 \\ x > -1.5 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $-1 < x < 1$.

Используем свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)$ для левой части уравнения:

$log_4\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right) = log_4(2x + 3)$

Приравняем аргументы логарифмов:

$\frac{x + 1}{1 - x} = 2x + 3$

$x + 1 = (2x + 3)(1 - x)$

$x + 1 = 2x - 2x^2 + 3 - 3x$

$x + 1 = -x - 2x^2 + 3$

$2x^2 + 2x - 2 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 + x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-1 < x < 1$):

Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 + 2.24}{2} \approx 0.62$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($-1 < 0.62 < 1$).

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 - 2.24}{2} \approx -1.62$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($-1.62 \ngtr -1$).

Ответ: $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

3) Исходное уравнение: $log_4(x + 3) - log_4(x - 1) = 2 - log_4(8)$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x + 3 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > 1 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 1$.

Преобразуем уравнение. Перенесем $log_4(8)$ в левую часть и представим 2 как логарифм по основанию 4: $2 = log_4(4^2) = log_4(16)$.

$log_4(x + 3) - log_4(x - 1) + log_4(8) = 2$

Используя свойства логарифмов, объединим слагаемые в левой части:

$log_4\left(\frac{(x + 3) \cdot 8}{x - 1}\right) = 2$

По определению логарифма ($log_a(b) = c \iff a^c = b$):

$\frac{8(x + 3)}{x - 1} = 4^2$

$\frac{8x + 24}{x - 1} = 16$

$8x + 24 = 16(x - 1)$

$8x + 24 = 16x - 16$

$40 = 8x$

$x = 5$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x > 1$): $5 > 1$, условие выполняется.

Ответ: 5.

4) Исходное уравнение: $lg(x - 1) + lg(x + 1) = 3lg2 + lg(x - 2)$.

Напомним, что $lg(a)$ это $log_{10}(a)$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > -1 \\ x > 2 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 2$.

Используем свойства логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$ и $n log_a(b) = log_a(b^n)$:

$lg((x - 1)(x + 1)) = lg(2^3) + lg(x - 2)$

$lg(x^2 - 1) = lg(8) + lg(x - 2)$

$lg(x^2 - 1) = lg(8(x - 2))$

Приравняем аргументы логарифмов:

$x^2 - 1 = 8(x - 2)$

$x^2 - 1 = 8x - 16$

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней равна 8, произведение равно 15. Корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Или через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 = 2^2$

$x_1 = \frac{8 + 2}{2} = 5$

$x_2 = \frac{8 - 2}{2} = 3$

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x > 2$):

$x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 > 2$).

$x_2 = 3$ удовлетворяет условию ($3 > 2$).

Оба корня подходят.

Ответ: 3; 5.

17.8. 1) $2\log_3(x - 2) + \log_3(x - 4)^2 = 0;$

2) $2\lg x - \lg 4 + \lg(5 - x^2) = 0;$

3) $\lg(x(x + 9)) + \lg\frac{x + 9}{x} = 0;$

4) $\frac{\lg(\sqrt{x} + 7) - \lg 2}{\lg 8 - \lg(x - 5)} = -1.$

1) Исходное уравнение: $2\log_3(x-2) + \log_3(x-4)^2 = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент первого логарифма должен быть строго больше нуля: $x - 2 > 0$, что дает $x > 2$.

2. Аргумент второго логарифма должен быть строго больше нуля: $(x-4)^2 > 0$, что выполняется для всех $x$, кроме $x=4$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (2, 4) \cup (4, \infty)$.

Теперь решим уравнение. Используем свойство логарифма $n\log_b a = \log_b a^n$:

$\log_3((x-2)^2) + \log_3((x-4)^2) = 0$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b(ac)$:

$\log_3((x-2)^2(x-4)^2) = 0$

По определению логарифма, если $\log_b A = c$, то $A = b^c$.

$(x-2)^2(x-4)^2 = 3^0$

$((x-2)(x-4))^2 = 1$

Это уравнение распадается на два:

а) $(x-2)(x-4) = 1$

$x^2 - 4x - 2x + 8 = 1$

$x^2 - 6x + 7 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.

$x_1 = 3 + \sqrt{2}$. Проверим, входит ли корень в ОДЗ. Так как $\sqrt{2} \approx 1.41$, то $x_1 \approx 4.41$. Этот корень удовлетворяет условию $x > 4$, значит, он подходит.

$x_2 = 3 - \sqrt{2}$. $x_2 \approx 3 - 1.41 = 1.59$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 2$, значит, он является посторонним.

б) $(x-2)(x-4) = -1$

$x^2 - 6x + 8 = -1$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x_3 = 3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $2 < 3 < 4$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $3; 3+\sqrt{2}$.

2) Исходное уравнение: $2\lg x - \lg 4 + \lg(5 - x^2) = 0$.

Найдем ОДЗ:

1. $x > 0$

2. $5 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 5 \Rightarrow -\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$.

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (0, \sqrt{5})$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$\lg(x^2) - \lg 4 + \lg(5 - x^2) = 0$

$\lg\left(\frac{x^2(5 - x^2)}{4}\right) = 0$

По определению десятичного логарифма (основание 10):

$\frac{x^2(5 - x^2)}{4} = 10^0 = 1$

$x^2(5 - x^2) = 4$

$5x^2 - x^4 = 4$

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$. Так как $x \in (0, \sqrt{5})$, то $t \in (0, 5)$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \in (0, 5)$.

Вернемся к переменной $x$:

а) $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

б) $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

Проверим найденные значения по ОДЗ $x \in (0, \sqrt{5})$ (учитывая, что $\sqrt{5} \approx 2.23$):

$x = 1$ - подходит.

$x = -1$ - не подходит (так как $x>0$).

$x = 2$ - подходит (так как $2 < \sqrt{5}$).

$x = -2$ - не подходит (так как $x>0$).

Ответ: $1; 2$.

3) Исходное уравнение: $\lg(x(x+9)) + \lg\frac{x+9}{x} = 0$.

Найдем ОДЗ:

1. $x(x+9) > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -9) \cup (0, \infty)$.

2. $\frac{x+9}{x} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -9) \cup (0, \infty)$.

ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty, -9) \cup (0, \infty)$.

Используем свойство суммы логарифмов:

$\lg\left(x(x+9) \cdot \frac{x+9}{x}\right) = 0$

Внутри ОДЗ $x \neq 0$, поэтому можно сократить $x$:

$\lg((x+9)^2) = 0$

По определению логарифма:

$(x+9)^2 = 10^0 = 1$

Извлекаем квадратный корень:

$x+9 = 1$ или $x+9 = -1$.

$x_1 = 1 - 9 = -8$.

$x_2 = -1 - 9 = -10$.

Проверяем корни по ОДЗ:

$x_1 = -8$ не входит в ОДЗ, так как $-8$ не принадлежит $(-\infty, -9) \cup (0, \infty)$.

$x_2 = -10$ входит в ОДЗ, так как $-10 < -9$.

Ответ: $-10$.

4) Исходное уравнение: $\frac{\lg\sqrt{x+7}-\lg 2}{\lg 8 - \lg(x-5)} = -1$.

Найдем ОДЗ:

1. Подрадикальное выражение: $x+7 > 0 \Rightarrow x > -7$.

2. Аргумент логарифма: $x-5 > 0 \Rightarrow x > 5$.

3. Знаменатель не равен нулю: $\lg 8 - \lg(x-5) \neq 0 \Rightarrow \lg 8 \neq \lg(x-5) \Rightarrow 8 \neq x-5 \Rightarrow x \neq 13$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (5, 13) \cup (13, \infty)$.

Решаем уравнение. Умножим обе части на знаменатель:

$\lg\sqrt{x+7}-\lg 2 = -(\lg 8 - \lg(x-5)) $

$\lg\sqrt{x+7}-\lg 2 = \lg(x-5) - \lg 8$

Используем свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b(a/c)$:

$\lg\frac{\sqrt{x+7}}{2} = \lg\frac{x-5}{8}$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{\sqrt{x+7}}{2} = \frac{x-5}{8}$

Умножим обе части на 8:

$4\sqrt{x+7} = x-5$

Для решения этого иррационального уравнения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$. Это условие уже входит в наше ОДЗ.

Возводим обе части в квадрат:

$16(x+7) = (x-5)^2$

$16x + 112 = x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 26x - 87 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-26)^2 - 4(1)(-87) = 676 + 348 = 1024 = 32^2$.

$x = \frac{26 \pm 32}{2}$

$x_1 = \frac{26+32}{2} = \frac{58}{2} = 29$.

$x_2 = \frac{26-32}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Проверяем корни по ОДЗ $x \in (5, 13) \cup (13, \infty)$:

$x_1 = 29$ - подходит.

$x_2 = -3$ - не подходит.

Ответ: $29$.

17.9. 1) $3\lg^2(x - 1) - 10\lg(x - 1) + 3 = 0$;

2) $\frac{1}{5 - \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} = 1$;

3) $\lg^2(100x) + \lg^2(10x) = 14 + \lg\frac{1}{x}$;

4) $\lg^2 x - 2\lg x = \lg^2 100 - 1$.

1) $3\lg^2(x-1) - 10\lg(x-1) + 3 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$.

Это уравнение является квадратным относительно $\lg(x-1)$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \lg(x-1)$.

Уравнение принимает вид:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Выполним обратную замену:

1. $\lg(x-1) = \frac{1}{3} \implies x - 1 = 10^{1/3} \implies x = 1 + \sqrt[3]{10}$.

2. $\lg(x-1) = 3 \implies x - 1 = 10^3 \implies x - 1 = 1000 \implies x = 1001$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 1$).

Ответ: $1 + \sqrt[3]{10}$; $1001$.

2) $\frac{1}{5 - \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} = 1$

ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $x > 0$.

2. Знаменатели не равны нулю:

$5 - \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq 5 \implies x \neq 10^5$.

$1 + \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1} = 0.1$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \lg x$.

$\frac{1}{5 - t} + \frac{2}{1 + t} = 1$.

Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:

$\frac{1(1+t) + 2(5-t)}{(5-t)(1+t)} = 1$

$1 + t + 10 - 2t = (5-t)(1+t)$

$11 - t = 5 + 5t - t - t^2$

$11 - t = 5 + 4t - t^2$

$t^2 - 5t + 6 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1. $\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$.

2. $\lg x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 10^5$, $x \neq 0.1$).

Ответ: $100$; $1000$.

3) $\lg^2(100x) + \lg^2(10x) = 14 + \lg \frac{1}{x}$

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойства логарифмов: $\lg(ab) = \lg a + \lg b$ и $\lg(a^n) = n\lg a$.

$\lg(100x) = \lg 100 + \lg x = 2 + \lg x$.

$\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$.

$\lg \frac{1}{x} = \lg(x^{-1}) = -\lg x$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(2 + \lg x)^2 + (1 + \lg x)^2 = 14 - \lg x$.

Сделаем замену $t = \lg x$:

$(2+t)^2 + (1+t)^2 = 14 - t$

$(4 + 4t + t^2) + (1 + 2t + t^2) = 14 - t$

$2t^2 + 6t + 5 = 14 - t$

$2t^2 + 7t - 9 = 0$.

Решим квадратное уравнение:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

$t_1 = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$.

$t_2 = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Выполним обратную замену:

1. $\lg x = -4.5 \implies x = 10^{-4.5}$.

2. $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $10^{-4.5}$; $10$.

4) $\lg^2 x - 2\lg x = \lg^2 100 - 1$

ОДЗ: $x > 0$.

Упростим правую часть уравнения:

$\lg 100 = \lg(10^2) = 2$.

$\lg^2 100 = (\lg 100)^2 = 2^2 = 4$.

Следовательно, правая часть равна $4 - 1 = 3$.

Уравнение принимает вид:

$\lg^2 x - 2\lg x = 3$.

Перенесем все в левую часть и сделаем замену $t = \lg x$:

$t^2 - 2t - 3 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

1. $\lg x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$.

2. $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $1000$; $0.1$.

17.10. 1) $log_{1/2}^2 (4x) + log_2 (\frac{x^2}{8}) = 8;$

2) $log_2^2 x^5 - 5log_2 x^3 = 10;$

3) $lg(10x) \cdot lg (0.1 \cdot x) = lgx^3 - 3;$

4) $\frac{1 - lg^2 (x^2)}{lgx - 2lg^2 x} = 4 lgx + 5.$

1) $\log_{\frac{1}{2}}^2(4x) + \log_2\frac{x^2}{8} = 8$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $4x > 0 \implies x > 0$ $\frac{x^2}{8} > 0 \implies x \neq 0$ Следовательно, ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Приведем все логарифмы к основанию 2. $\log_{\frac{1}{2}}(4x) = \log_{2^{-1}}(4x) = -\log_2(4x) = -(\log_2 4 + \log_2 x) = -(2 + \log_2 x)$. Тогда первый член уравнения: $\log_{\frac{1}{2}}^2(4x) = (-(2 + \log_2 x))^2 = (2 + \log_2 x)^2 = 4 + 4\log_2 x + \log_2^2 x$.

Преобразуем второй член: $\log_2\frac{x^2}{8} = \log_2(x^2) - \log_2 8 = 2\log_2 x - 3$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение: $(4 + 4\log_2 x + \log_2^2 x) + (2\log_2 x - 3) = 8$.

Приведем подобные слагаемые: $\log_2^2 x + 6\log_2 x + 1 = 8$ $\log_2^2 x + 6\log_2 x - 7 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид: $t^2 + 6t - 7 = 0$. Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -6$ $t_1 \cdot t_2 = -7$ Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -7$.

Выполним обратную замену: 1. $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$. Корень входит в ОДЗ ($2 > 0$). 2. $\log_2 x = -7 \implies x = 2^{-7} = \frac{1}{128}$. Корень входит в ОДЗ ($\frac{1}{128} > 0$).

Ответ: $2; \frac{1}{128}$.

2) $\log_2^2 x^5 - 5\log_2 x^3 = 10$

ОДЗ: $x^5 > 0$ и $x^3 > 0$, что равносильно $x > 0$.

Используем свойство логарифма степени $\log_a b^p = p \log_a b$: $\log_2 x^5 = 5\log_2 x$ $\log_2 x^3 = 3\log_2 x$

Подставим в уравнение: $(5\log_2 x)^2 - 5(3\log_2 x) = 10$ $25\log_2^2 x - 15\log_2 x - 10 = 0$.

Разделим все уравнение на 5: $5\log_2^2 x - 3\log_2 x - 2 = 0$.

Сделаем замену $t = \log_2 x$: $5t^2 - 3t - 2 = 0$. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(5)(-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$. $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$. $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Вернемся к исходной переменной: 1. $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$. Корень входит в ОДЗ. 2. $\log_2 x = -\frac{2}{5} \implies x = 2^{-2/5} = \frac{1}{2^{2/5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{2^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{4}}$. Корень входит в ОДЗ.

Ответ: $2; \frac{1}{\sqrt[5]{4}}$.

3) $\lg(10x) \cdot \lg(0.1x) = \lg x^3 - 3$

ОДЗ: $10x > 0$, $0.1x > 0$, $x^3 > 0$. Все эти условия выполняются при $x > 0$.

Преобразуем логарифмы, используя свойства логарифма произведения и степени ($\lg$ — это десятичный логарифм $\log_{10}$): $\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$. $\lg(0.1x) = \lg(10^{-1}x) = \lg 10^{-1} + \lg x = -1 + \lg x$. $\lg x^3 = 3\lg x$.

Подставим в уравнение: $(1 + \lg x)(-1 + \lg x) = 3\lg x - 3$. В левой части используем формулу разности квадратов: $(\lg x)^2 - 1^2 = 3\lg x - 3$ $\lg^2 x - 1 = 3\lg x - 3$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону: $\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0$.

Сделаем замену $t = \lg x$: $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 3$ $t_1 \cdot t_2 = 2$ Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену: 1. $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$. Корень входит в ОДЗ. 2. $\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$. Корень входит в ОДЗ.

Ответ: $10; 100$.

4) $\frac{1 - \lg^2(x^2)}{\lg x - 2\lg^2 x} = 4\lg x + 5$

ОДЗ: 1. Аргументы логарифмов положительны: $x^2 > 0 \implies x \neq 0$ и $x > 0$. Следовательно, $x > 0$. 2. Знаменатель не равен нулю: $\lg x - 2\lg^2 x \neq 0$. $\lg x(1 - 2\lg x) \neq 0$. Отсюда $\lg x \neq 0$ и $1 - 2\lg x \neq 0$. $\lg x \neq 0 \implies x \neq 1$. $2\lg x \neq 1 \implies \lg x \neq \frac{1}{2} \implies x \neq 10^{1/2} = \sqrt{10}$. Итак, ОДЗ: $x > 0, x \neq 1, x \neq \sqrt{10}$.

Преобразуем числитель и знаменатель дроби: Числитель: $1 - \lg^2(x^2) = 1 - (2\lg x)^2 = 1 - 4\lg^2 x = (1 - 2\lg x)(1 + 2\lg x)$. Знаменатель: $\lg x - 2\lg^2 x = \lg x(1 - 2\lg x)$.

Подставим в уравнение: $\frac{(1 - 2\lg x)(1 + 2\lg x)}{\lg x(1 - 2\lg x)} = 4\lg x + 5$. Сократим дробь на $(1 - 2\lg x)$, так как по ОДЗ это выражение не равно нулю: $\frac{1 + 2\lg x}{\lg x} = 4\lg x + 5$.

Сделаем замену $t = \lg x$: $\frac{1 + 2t}{t} = 4t + 5$. Умножим обе части на $t$ (по ОДЗ $t \neq 0$): $1 + 2t = t(4t + 5)$ $1 + 2t = 4t^2 + 5t$ $4t^2 + 3t - 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение: $D = 3^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$. $t_1 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. $t_2 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$.

Вернемся к переменной $x$: 1. $\lg x = \frac{1}{4} \implies x = 10^{1/4} = \sqrt[4]{10}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. 2. $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0.1; \sqrt[4]{10}$.

17.11. 1) $\log_{2}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\log_{2}x} = \frac{4}{3}$;

2) $\log_{2}^{2}(2x) = 4\log_{2}x$;

3) $\log_{3}(3^{x+1} + 3^{x}) = \log_{3}324$;

4) $\lg(x^2) + \lg(-x) = 9$.

1) $\log_2 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = \frac{4}{3}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$. Подкоренное выражение кубического корня $\log_2 x$ может быть любым действительным числом, поэтому дополнительных ограничений нет. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$ для первого слагаемого:

$\log_2 \sqrt[3]{x} = \log_2 (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \log_2 x$.

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{1}{3} \log_2 x + \sqrt[3]{\log_2 x} = \frac{4}{3}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[3]{\log_2 x}$. Тогда $t^3 = (\sqrt[3]{\log_2 x})^3 = \log_2 x$.

Подставим $t$ в уравнение:

$\frac{1}{3} t^3 + t = \frac{4}{3}$.

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$t^3 + 3t = 4$.

Перенесем все в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$t^3 + 3t - 4 = 0$.

Найдем корень этого уравнения подбором среди делителей свободного члена (-4), то есть $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

При $t=1$: $1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$. Значит, $t=1$ является корнем уравнения.

Разделим многочлен $t^3 + 3t - 4$ на $(t-1)$, чтобы найти остальные корни.

$(t^3 + 3t - 4) : (t-1) = t^2 + t + 4$.

Получаем уравнение $(t-1)(t^2 + t + 4) = 0$.

Рассмотрим квадратное уравнение $t^2 + t + 4 = 0$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением является $t=1$.

Вернемся к исходной переменной:

$\sqrt[3]{\log_2 x} = 1$.

Возведем обе части в куб:

$\log_2 x = 1^3 = 1$.

По определению логарифма:

$x = 2^1 = 2$.

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ ($x>0$). $2 > 0$, значит, корень подходит.

Ответ: $2$

2) $\log_2^2(2x) = 4\log_2 x$

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными.

$2x > 0 \implies x > 0$.

$x > 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство логарифма произведения $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$:

$\log_2(2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(1 + \log_2 x)^2 = 4\log_2 x$.

Сделаем замену. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:

$(1 + t)^2 = 4t$.

Раскроем скобки и решим квадратное уравнение:

$1 + 2t + t^2 = 4t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t-1=0 \implies t=1$.

Вернемся к переменной $x$:

$\log_2 x = 1$.

$x = 2^1 = 2$.

Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $2$

3) $\log_3(3^{x+1} + 3^x) = \log_3 324$

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.

$3^{x+1} + 3^x > 0$. Поскольку показательная функция $a^y$ всегда положительна при $a>0$, то и сумма $3^{x+1} + 3^x$ всегда будет больше нуля для любого $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$3^{x+1} + 3^x = 324$.

Преобразуем левую часть, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3^x \cdot 3^1 + 3^x = 324$.

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x (3 + 1) = 324$

$3^x \cdot 4 = 324$.

Разделим обе части на 4:

$3^x = \frac{324}{4}$

$3^x = 81$.

Представим 81 как степень тройки: $81 = 3^4$.

$3^x = 3^4$.

Следовательно, $x=4$.

Ответ: $4$

4) $\lg(x^2) + \lg(-x) = 9$

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

1) $x^2 > 0 \implies x \neq 0$.

2) $-x > 0 \implies x < 0$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x < 0$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$. Напомним, что $\lg$ - это десятичный логарифм ($\log_{10}$).

$\lg(x^2 \cdot (-x)) = 9$

$\lg(-x^3) = 9$.

По определению логарифма:

$-x^3 = 10^9$.

Умножим на -1:

$x^3 = -10^9$.

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{-10^9} = \sqrt[3]{-(10^3)^3} = -10^3 = -1000$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x<0$).

$-1000 < 0$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $-1000$

Решите системы уравнений (17.12—17.13):

17.12. 1)

$$\begin{cases} \lg x + \lg 2 = \lg y, \\ 3x - 2y = -2; \end{cases}$$

2)

$$\begin{cases} \log_2 (x+y) + \log_2 (x^2 - xy + y) = 1, \\ x - y = 0; \end{cases}$$

3)

$$\begin{cases} \left(\frac{2}{3}\right)^{2x-y} - \frac{4}{9} = 0, \\ \lg(3x - y) - 4\lg 2 = 0; \end{cases}$$

4)

$$\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{2}{15}, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 + \log_3 5. \end{cases}$$

17.12. 1)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}\lg x + \lg 2 = \lg y, \\3x - 2y = -2;\end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения. Аргументы логарифмов должны быть положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg(2x) = \lg y$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$2x = y$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases}y = 2x, \\3x - 2y = -2;\end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$3x - 2(2x) = -2$

$3x - 4x = -2$

$-x = -2$

$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в уравнение $y = 2x$:

$y = 2 \cdot 2 = 4$

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(2, 4)$ ОДЗ: $x = 2 > 0$ и $y = 4 > 0$. Условия выполняются.

Ответ: $(2, 4)$.

17.12. 2)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}\log_2(x+y) + \log_2(x^2 - xy + y^2) = 1, \\x - y = 0;\end{cases}$

ОДЗ: $x+y > 0$ и $x^2 - xy + y^2 > 0$.

Из второго уравнения системы следует, что $x = y$.

Подставим $x = y$ в первое уравнение. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_2((x+y)(x^2 - xy + y^2)) = 1$

Выражение в скобках является формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

Уравнение принимает вид:

$\log_2(x^3 + y^3) = 1$

По определению логарифма:

$x^3 + y^3 = 2^1 = 2$

Теперь решим систему:

$\begin{cases}x = y, \\x^3 + y^3 = 2;\end{cases}$

Подставим $x=y$ во второе уравнение:

$x^3 + x^3 = 2$

$2x^3 = 2$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Так как $x = y$, то $y = 1$.

Проверим решение $(1, 1)$ на соответствие ОДЗ:

$x+y = 1+1 = 2 > 0$

$x^2 - xy + y^2 = 1^2 - 1 \cdot 1 + 1^2 = 1 > 0$

Условия выполняются.

Ответ: $(1, 1)$.

17.12. 3)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}(\frac{2}{3})^{2x-y} - \frac{4}{9} = 0, \\\lg(3x-y) - 4\lg2 = 0;\end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение:

$(\frac{2}{3})^{2x-y} = \frac{4}{9}$

Так как $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$, уравнение можно переписать в виде:

$(\frac{2}{3})^{2x-y} = (\frac{2}{3})^2$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$2x - y = 2$

Теперь рассмотрим второе уравнение. ОДЗ: $3x-y > 0$.

$\lg(3x-y) - 4\lg2 = 0$

$\lg(3x-y) = 4\lg2$

Используя свойство $n \log a = \log a^n$, получаем:

$\lg(3x-y) = \lg(2^4)$

$\lg(3x-y) = \lg(16)$

Приравнивая аргументы логарифмов, получаем:

$3x - y = 16$

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases}2x - y = 2, \\3x - y = 16;\end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(3x - y) - (2x - y) = 16 - 2$

$x = 14$

Подставим значение $x$ в первое уравнение $2x - y = 2$:

$2(14) - y = 2$

$28 - y = 2$

$y = 26$

Проверим ОДЗ для решения $(14, 26)$: $3x - y = 3(14) - 26 = 42 - 26 = 16 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $(14, 26)$.

17.12. 4)

Исходная система уравнений:$\begin{cases}\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{2}{15}, \\\log_3 x + \log_3 y = 1 + \log_3 5;\end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение. Представим $1$ как $\log_3 3$ и используем свойство суммы логарифмов:

$\log_3(xy) = \log_3 3 + \log_3 5$

$\log_3(xy) = \log_3(3 \cdot 5)$

$\log_3(xy) = \log_3(15)$

Отсюда следует:

$xy = 15$

Теперь преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{y-x}{xy} = \frac{2}{15}$

Подставим в это уравнение найденное значение $xy=15$:

$\frac{y-x}{15} = \frac{2}{15}$

Умножив обе части на 15, получим:

$y - x = 2$, или $y = x + 2$

Теперь решим систему:

$\begin{cases}y = x + 2, \\xy = 15;\end{cases}$

Подставим выражение для $y$ во второе уравнение:

$x(x+2) = 15$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Согласно ОДЗ ($x > 0$), корень $x_2 = -5$ не подходит.

Следовательно, $x = 3$.

Найдем $y$:

$y = x + 2 = 3 + 2 = 5$

Решение $(3, 5)$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$ и $5 > 0$).

Ответ: $(3, 5)$.

17.13. 1)

$\begin{cases} \lg(x-y)=2, \\ \lg x=\lg 3+\lg y; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x=2y, \\ \log_3 (x-y)+\log_3 (x+y)=1; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 1+\log_2 y=\log_2 (x+y), \\ \log_2 (x+y)+\log_2 (x^2-xy+y^2)=1. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \lg(x-y)=2, \\ \lg x = \lg 3 + \lg y; \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x-y > 0 \\ x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$

Из первого условия следует, что $x > y$. Учитывая, что $y > 0$, автоматически выполняется и $x > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x > y$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg x = \lg(3y)$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$x = 3y$

Теперь преобразуем первое уравнение системы, используя определение десятичного логарифма:

$x - y = 10^2$

$x - y = 100$

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x = 3y, \\ x - y = 100; \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$3y - y = 100$

$2y = 100$

$y = 50$

Теперь найдем $x$:

$x = 3 \cdot 50 = 150$

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(150, 50)$ условиям ОДЗ:

$x > y \Rightarrow 150 > 50$ (верно)

$y > 0 \Rightarrow 50 > 0$ (верно)

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(150, 50)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x=2y, \\ \log_3(x-y) + \log_3(x+y)=1; \end{cases}$

Найдем ОДЗ для второго уравнения:

$\begin{cases} x-y > 0 \\ x+y > 0 \end{cases}$

Подставим $x=2y$ из первого уравнения в условия ОДЗ:

$\begin{cases} 2y-y > 0 \\ 2y+y > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y > 0 \\ 3y > 0 \end{cases} \Rightarrow y > 0$

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_3((x-y)(x+y)) = 1$

$\log_3(x^2 - y^2) = 1$

По определению логарифма:

$x^2 - y^2 = 3^1$

$x^2 - y^2 = 3$

Теперь подставим $x=2y$ в полученное уравнение:

$(2y)^2 - y^2 = 3$

$4y^2 - y^2 = 3$

$3y^2 = 3$

$y^2 = 1$

$y_1 = 1$, $y_2 = -1$

Согласно ОДЗ ($y>0$), подходит только корень $y=1$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 2y = 2 \cdot 1 = 2$

Проверим решение $(2, 1)$, подставив его в исходные условия ОДЗ:

$x-y > 0 \Rightarrow 2-1 > 0 \Rightarrow 1 > 0$ (верно)

$x+y > 0 \Rightarrow 2+1 > 0 \Rightarrow 3 > 0$ (верно)

Ответ: $(2, 1)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y=0, \\ x^2-5y^2+4=0; \end{cases}$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:

$\log_4(x/y) = 0$

По определению логарифма:

$x/y = 4^0$

$x/y = 1$

$x = y$

Подставим $x=y$ во второе уравнение системы:

$y^2 - 5y^2 + 4 = 0$

$-4y^2 = -4$

$y^2 = 1$

$y_1 = 1$, $y_2 = -1$

Согласно ОДЗ ($y>0$), подходит только корень $y=1$.

Так как $x=y$, то $x=1$.

Решение $(1, 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(1, 1)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 1+\log_2 y = \log_2(x+y), \\ \log_2(x+y)+\log_2(x^2-xy+y^2)=1. \end{cases}$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} y > 0 \\ x+y > 0 \\ x^2-xy+y^2 > 0 \end{cases}$

Выражение $x^2-xy+y^2 = (x - y/2)^2 + 3y^2/4$. Так как $y>0$, то $3y^2/4>0$, и $(x - y/2)^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2-xy+y^2 > 0$ всегда, когда $y \ne 0$. Таким образом, ОДЗ: $y>0$ и $x+y>0$.

Преобразуем первое уравнение:

$1 = \log_2(x+y) - \log_2 y$

$1 = \log_2\left(\frac{x+y}{y}\right)$

По определению логарифма:

$\frac{x+y}{y} = 2^1$

$x+y = 2y$

$x=y$

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов:

$\log_2((x+y)(x^2-xy+y^2))=1$

Выражение в скобках является формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

$\log_2(x^3+y^3)=1$

По определению логарифма:

$x^3+y^3 = 2^1$

$x^3+y^3 = 2$

Подставим $x=y$ в полученное уравнение:

$y^3+y^3=2$

$2y^3=2$

$y^3=1$

$y=1$

Так как $x=y$, то $x=1$.

Проверим решение $(1, 1)$ на соответствие ОДЗ:

$y>0 \Rightarrow 1>0$ (верно)

$x+y>0 \Rightarrow 1+1 > 0 \Rightarrow 2 > 0$ (верно)

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(1, 1)$.