Страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите неравенства (18.8–18.13):

18.8. 1) $2^{\frac{x+1}{x-2}} > 4;$

2) $0,125 < 16^x;$

3) $36^{0,5x^2-1} > \left(\frac{1}{6}\right)^{-2};$

4) $125\left(\frac{1}{5}\right)^{3x^2} < \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x}.$

1) Исходное неравенство: $2^{\frac{x+1}{x-2}} > 4$.

Представим число 4 как степень с основанием 2: $4 = 2^2$.

Получим неравенство: $2^{\frac{x+1}{x-2}} > 2^2$.

Так как основание степени $2 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$\frac{x+1}{x-2} > 2$.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x+1}{x-2} - 2 > 0$

$\frac{x+1 - 2(x-2)}{x-2} > 0$

$\frac{x+1 - 2x + 4}{x-2} > 0$

$\frac{5-x}{x-2} > 0$.

Чтобы избавиться от минуса при $x$ в числителе, умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x-5}{x-2} < 0$.

Решим полученное дробно-рациональное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $x-5=0 \implies x=5$; $x-2=0 \implies x=2$.

Нанесем эти точки на числовую ось, они разделят ее на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 5)$ и $(5; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{x-5}{x-2}$ в каждом интервале.

- При $x \in (5; +\infty)$, например $x=6$: $\frac{6-5}{6-2} = \frac{1}{4} > 0$.

- При $x \in (2; 5)$, например $x=3$: $\frac{3-5}{3-2} = \frac{-2}{1} < 0$.

- При $x \in (-\infty; 2)$, например $x=0$: $\frac{0-5}{0-2} = \frac{5}{2} > 0$.

Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля. Это интервал $(2; 5)$.

Ответ: $(2; 5)$.

2) Исходное неравенство: $0,125 < 16^x$.

Представим обе части неравенства в виде степеней с одним основанием, например 2.

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

$16 = 2^4$, следовательно, $16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$.

Неравенство принимает вид: $2^{-3} < 2^{4x}$.

Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$-3 < 4x$.

Разделим обе части на 4:

$x > -\frac{3}{4}$.

Ответ: $(-\frac{3}{4}; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $36^{0,5x^2 - 1} > (\frac{1}{6})^{-2}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 6.

Левая часть: $36^{0,5x^2 - 1} = (6^2)^{0,5x^2 - 1} = 6^{2(0,5x^2 - 1)} = 6^{x^2 - 2}$.

Правая часть: $(\frac{1}{6})^{-2} = (6^{-1})^{-2} = 6^{(-1) \cdot (-2)} = 6^2$.

Неравенство принимает вид: $6^{x^2 - 2} > 6^2$.

Так как основание $6 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2 > 2$

$x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) > 0$.

Это квадратное неравенство. Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=-2$ и $x=2$. Значения функции положительны при $x$ левее -2 и правее 2.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $125(\frac{1}{5})^{3x^2} < (\frac{1}{25})^{-4x}$.

Приведем все множители к степеням с основанием 5.

$125 = 5^3$.

$(\frac{1}{5})^{3x^2} = (5^{-1})^{3x^2} = 5^{-3x^2}$.

$(\frac{1}{25})^{-4x} = (5^{-2})^{-4x} = 5^{(-2)(-4x)} = 5^{8x}$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$5^3 \cdot 5^{-3x^2} < 5^{8x}$.

По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ левая часть равна $5^{3-3x^2}$.

Неравенство принимает вид: $5^{3-3x^2} < 5^{8x}$.

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется для показателей:

$3 - 3x^2 < 8x$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$0 < 3x^2 + 8x - 3$.

Решим квадратное уравнение $3x^2 + 8x - 3 = 0$, чтобы найти его корни.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6}$.

$x_1 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.

$x_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Неравенство $3x^2 + 8x - 3 > 0$ можно записать как $3(x - (-3))(x - \frac{1}{3}) > 0$, то есть $3(x+3)(x-\frac{1}{3}) > 0$.

Графиком функции $y=3x^2+8x-3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.

Следовательно, $x < -3$ или $x > \frac{1}{3}$.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

18.9. 1) $2^{x^2+2x-8} - 8 \cdot 2^x > 0;$

2) $\left(\frac{1}{5}\right)^{x^2} > 5^{-x};$

3) $2^{x^2+12} < 64 \cdot 2^{5x};$

4) $8 \cdot 2^{x^2-3x} < (0,5)^{-1}.$

1) Исходное неравенство: $2^{x^2+2x-8} - 8 \cdot 2^{x} > 0$.Перенесем второе слагаемое в правую часть неравенства:$2^{x^2+2x-8} > 8 \cdot 2^{x}$.Представим число 8 как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.$2^{x^2+2x-8} > 2^3 \cdot 2^{x}$.Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим правую часть:$2^{x^2+2x-8} > 2^{x+3}$.Так как основание степени $2 > 1$, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:$x^2+2x-8 > x+3$.Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:$x^2 + 2x - x - 8 - 3 > 0$$x^2 + x - 11 > 0$.Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 11 = 0$.Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 1 + 44 = 45$.Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.Графиком функции $y=x^2+x-11$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, выражение $x^2 + x - 11$ положительно при значениях $x$, находящихся за пределами интервала между корнями.Ответ: $x \in (-\infty; \frac{-1 - 3\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2}; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $(\frac{1}{5})^{x^2} > 5^{5x}$.Приведем обе части неравенства к одному основанию 5. Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, получаем:$(5^{-1})^{x^2} > 5^{5x}$.По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$ упростим левую часть:$5^{-x^2} > 5^{5x}$.Так как основание степени $5 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак неравенства:$-x^2 > 5x$.Перенесем все в правую часть:$0 > x^2 + 5x$, что эквивалентно $x^2 + 5x < 0$.Разложим левую часть на множители:$x(x+5) < 0$.Корнями уравнения $x(x+5)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=-5$.Графиком функции $y=x^2+5x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями.Ответ: $x \in (-5; 0)$.

3) Исходное неравенство: $2^{x^2+12} < 64 \cdot 2^{5x}$.Приведем обе части к основанию 2. Число $64 = 2^6$.$2^{x^2+12} < 2^6 \cdot 2^{5x}$.Упростим правую часть по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$2^{x^2+12} < 2^{6+5x}$.Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:$x^2+12 < 6+5x$.Перенесем все члены в левую часть:$x^2 - 5x + 12 - 6 < 0$$x^2 - 5x + 6 < 0$.Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение 6, значит корни $x_1=2$ и $x_2=3$.Графиком $y=x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями.Ответ: $x \in (2; 3)$.

4) Исходное неравенство: $8 \cdot 2^{x^2-3x} < (0,5)^{-1}$.Приведем все части неравенства к основанию 2.$8 = 2^3$.$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, значит $(0,5)^{-1} = (2^{-1})^{-1} = 2^1 = 2$.Подставим эти значения в неравенство:$2^3 \cdot 2^{x^2-3x} < 2^1$.Упростим левую часть по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$2^{3 + x^2-3x} < 2^1$.Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:$x^2 - 3x + 3 < 1$.Перенесем 1 в левую часть:$x^2 - 3x + 2 < 0$.Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение 2, значит корни $x_1=1$ и $x_2=2$.Графиком $y=x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями.Ответ: $x \in (1; 2)$.

18.10.

1) $6 \cdot 5^{x+1} - 5^{x+2} + 6 \cdot 5^x > 55;$

2) $3 \cdot 2^{x+1} + 5 \cdot 2^x - 2^{x+2} < 14;$

3) $x^2 \cdot 3^x - 3^x > 0;$

4) $x^2 \cdot 4^x - 4^x < 0.$

1) Решим неравенство $6 \cdot 5^{x+1} - 5^{x+2} + 6 \cdot 5^x > 55$.

Сначала преобразуем степени так, чтобы привести их к одному основанию $5^x$:

$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$

$5^{x+2} = 5^x \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^x$

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное неравенство:

$6 \cdot (5 \cdot 5^x) - 25 \cdot 5^x + 6 \cdot 5^x > 55$

Упростим левую часть, выполнив умножение и сгруппировав слагаемые с $5^x$:

$30 \cdot 5^x - 25 \cdot 5^x + 6 \cdot 5^x > 55$

$(30 - 25 + 6) \cdot 5^x > 55$

$11 \cdot 5^x > 55$

Разделим обе части неравенства на 11:

$5^x > 5$

Так как $5 = 5^1$, неравенство принимает вид:

$5^x > 5^1$

Поскольку основание степени $5$ больше 1, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

2) Решим неравенство $3 \cdot 2^{2x+1} + 5 \cdot 2^{x} - 2^{x+2} \le 14$.

Преобразуем степени с переменной в показателе:

$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^x)^2$

$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$

Подставим преобразованные выражения в неравенство:

$3 \cdot (2 \cdot (2^x)^2) + 5 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^x \le 14$

$6 \cdot (2^x)^2 + (5-4) \cdot 2^x - 14 \le 0$

$6 \cdot (2^x)^2 + 2^x - 14 \le 0$

Введем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$6t^2 + t - 14 \le 0$

Для решения найдем корни уравнения $6t^2 + t - 14 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-14) = 1 + 336 = 337$

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{337}}{12}$.

Графиком функции $y=6t^2+t-14$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $6t^2 + t - 14 \le 0$ выполняется для $t$, находящихся между корнями:

$\frac{-1 - \sqrt{337}}{12} \le t \le \frac{-1 + \sqrt{337}}{12}$

Учитывая наше ограничение $t > 0$, получаем:

$0 < t \le \frac{-1 + \sqrt{337}}{12}$

Выполним обратную замену $t = 2^x$:

$0 < 2^x \le \frac{-1 + \sqrt{337}}{12}$

Левая часть неравенства $2^x > 0$ верна для всех $x$. Решим правую часть:

$2^x \le \frac{-1 + \sqrt{337}}{12}$

Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства не меняется:

$x \le \log_2\left(\frac{-1 + \sqrt{337}}{12}\right)$

Ответ: $x \in \left(-\infty, \log_2\left(\frac{-1 + \sqrt{337}}{12}\right)\right]$.

3) Решим неравенство $x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} > 0$.

Преобразуем $3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$ и подставим в неравенство:

$x^2 \cdot 3^x - 3 \cdot 3^x > 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(x^2 - 3) > 0$

Поскольку показательная функция $3^x$ всегда положительна ($3^x > 0$ для всех $x$), мы можем разделить обе части неравенства на $3^x$ без изменения знака:

$x^2 - 3 > 0$

Перенесем 3 в правую часть:

$x^2 > 3$

Это неравенство выполняется, когда $|x| > \sqrt{3}$, то есть $x > \sqrt{3}$ или $x < -\sqrt{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.

4) Решим неравенство $x^2 \cdot 4^x - 4^{x+1} < 0$.

Преобразуем $4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 = 4 \cdot 4^x$ и подставим в неравенство:

$x^2 \cdot 4^x - 4 \cdot 4^x < 0$

Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$4^x(x^2 - 4) < 0$

Поскольку показательная функция $4^x$ всегда положительна ($4^x > 0$ для всех $x$), мы можем разделить обе части неравенства на $4^x$ без изменения знака:

$x^2 - 4 < 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$x^2 < 4$

Это неравенство выполняется, когда $|x| < 2$, то есть $-2 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-2, 2)$.

18.11. 1) $5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 > 0;$

2) $13^{2x} - 14 \cdot 13^x + 13 \le 0;$

3) $3^{x^2} + 9^{x+1} - 810 > 0;$

4) $2 \cdot 4^{\cos x} - 3 \cdot 2^{\cos x} + 1 < 0.$

1) $5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 > 0$

Данное неравенство является показательным. Запишем $5^{2x}$ как $(5^x)^2$:

$(5^x)^2 - 2 \cdot 5^x - 15 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 2t - 15 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 2t - 15 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $(t - 5)(t + 3) > 0$.

Решением этого неравенства являются интервалы $t < -3$ и $t > 5$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем, что единственное подходящее решение - это $t > 5$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$5^x > 5$

$5^x > 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) $13^{2x} - 14 \cdot 13^x + 13 \le 0$

Перепишем неравенство, используя свойство степени $13^{2x} = (13^x)^2$:

$(13^x)^2 - 14 \cdot 13^x + 13 \le 0$

Введем замену переменной $t = 13^x$. Очевидно, что $t > 0$.

Получим квадратное неравенство:

$t^2 - 14t + 13 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 14t + 13 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 13$.

Разложим на множители: $(t - 1)(t - 13) \le 0$.

Решением этого неравенства является отрезок $1 \le t \le 13$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$1 \le 13^x \le 13$

Представим концы интервала в виде степени с основанием 13:

$13^0 \le 13^x \le 13^1$

Так как основание степени $13 > 1$, то при переходе к показателям степени знаки неравенства сохраняются:

$0 \le x \le 1$

Ответ: $x \in [0; 1]$.

3) $3^{x+2} + 9^{x+1} - 810 > 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$3^x \cdot 3^2 + 9^x \cdot 9^1 - 810 > 0$

$9 \cdot 3^x + 9 \cdot (3^2)^x - 810 > 0$

$9 \cdot 3^x + 9 \cdot (3^x)^2 - 810 > 0$

Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

$9 \cdot (3^x)^2 + 9 \cdot 3^x - 810 > 0$

$9t^2 + 9t - 810 > 0$

Разделим все неравенство на 9:

$t^2 + t - 90 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + t - 90 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 9$ и $t_2 = -10$.

Разложим на множители: $(t - 9)(t + 10) > 0$.

Решением являются интервалы $t < -10$ и $t > 9$.

С учетом условия $t > 0$, остается только $t > 9$.

Вернемся к переменной $x$:

$3^x > 9$

$3^x > 3^2$

Так как основание $3 > 1$, то $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) $2 \cdot 4^{\cos x} - 3 \cdot 2^{\cos x} + 1 < 0$

Представим $4^{\cos x}$ как $(2^2)^{\cos x} = (2^{\cos x})^2$.

$2 \cdot (2^{\cos x})^2 - 3 \cdot 2^{\cos x} + 1 < 0$

Произведем замену переменной. Пусть $t = 2^{\cos x}$.

Так как область значений косинуса $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$, то область значений для $t$ будет $[2^{-1}; 2^1]$, то есть $1/2 \le t \le 2$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$2t^2 - 3t + 1 < 0$

Найдем корни уравнения $2t^2 - 3t + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни $t_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{3+1}{4} = 1$.

Разложим на множители: $2(t - 1/2)(t - 1) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $1/2 < t < 1$.

Это решение полностью входит в область допустимых значений $t$.

Сделаем обратную замену:

$1/2 < 2^{\cos x} < 1$

Представим границы в виде степени с основанием 2:

$2^{-1} < 2^{\cos x} < 2^0$

Так как основание $2 > 1$, то для показателей степени знаки неравенства сохраняются:

$-1 < \cos x < 0$

Это двойное тригонометрическое неравенство. Решим его с помощью единичной окружности. Значения косинуса соответствуют абсциссам точек на окружности. Нас интересуют точки, у которых абсцисса находится в интервале $(-1; 0)$. Это дуги во второй и третьей четвертях, не включая точки, соответствующие углам $\pi/2$, $\pi$ и $3\pi/2$.

Решением является объединение интервалов:

$x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

18.12. 1) $4^{x+2} + 8 < 9 \cdot 2^{x+2};$

2) $3^{1+\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}} < 12;$

3) $4^{1-x} + 2^{1-x} - 4 < 4 \cdot 2^{1-x} - 6;$

4) $4^{x+2} - 6 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0.$

1) Исходное неравенство: $4^{x+2} + 8 < 9 \cdot 2^{x+2}$.

Преобразуем левую часть, заметив, что $4^{x+2} = (2^2)^{x+2} = 2^{2(x+2)} = (2^{x+2})^2$.

Перенесем все члены в одну сторону: $(2^{x+2})^2 - 9 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{x+2}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получим квадратное неравенство относительно $t$: $t^2 - 9t + 8 < 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.

Графиком функции $y = t^2 - 9t + 8$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство выполняется для значений $t$ между корнями: $1 < t < 8$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $1 < 2^{x+2} < 8$.

Представим 1 и 8 как степени двойки: $2^0 < 2^{x+2} < 2^3$.

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y=2^z$ возрастающая, поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки: $0 < x+2 < 3$.

Вычтем 2 из всех частей двойного неравенства: $0 - 2 < x < 3 - 2$, что дает $-2 < x < 1$.

Ответ: $(-2; 1)$.

2) Исходное неравенство: $3^{1+\frac{1}{x}} + 3^{1-\frac{1}{x}} \leq 12$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется знаменателем: $x \neq 0$.

Используя свойства степеней $a^{m+n}=a^m a^n$ и $a^{m-n}=a^m/a^n$, преобразуем неравенство: $3 \cdot 3^{\frac{1}{x}} + 3 \cdot 3^{-\frac{1}{x}} \leq 12$.

Разделим обе части неравенства на 3: $3^{\frac{1}{x}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{x}}} \leq 4$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{\frac{1}{x}}$. Учитывая, что $3^z > 0$ для любого $z$, имеем $t > 0$.

Неравенство примет вид: $t + \frac{1}{t} \leq 4$.

Так как $t > 0$, умножим обе части на $t$, не меняя знака неравенства: $t^2 + 1 \leq 4t$.

Перенесем все в одну сторону: $t^2 - 4t + 1 \leq 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 4t + 1 = 0$ через дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$. Корни: $t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Решение квадратного неравенства находится между корнями: $2 - \sqrt{3} \leq t \leq 2 + \sqrt{3}$.

Выполним обратную замену: $2 - \sqrt{3} \leq 3^{\frac{1}{x}} \leq 2 + \sqrt{3}$.

Прологарифмируем все части по основанию 3. Так как основание $3>1$, знаки неравенства сохраняются: $\log_3(2 - \sqrt{3}) \leq \frac{1}{x} \leq \log_3(2 + \sqrt{3})$.

Заметим, что $2 - \sqrt{3} = \frac{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{2+\sqrt{3}} = \frac{4-3}{2+\sqrt{3}} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}$. Поэтому $\log_3(2 - \sqrt{3}) = \log_3((2+\sqrt{3})^{-1}) = -\log_3(2+\sqrt{3})$.

Обозначим $A = \log_3(2 + \sqrt{3})$. Тогда неравенство примет вид: $-A \leq \frac{1}{x} \leq A$. Заметим, что $2+\sqrt{3} > 3$, поэтому $A > \log_3(3)=1$, то есть $A > 0$.

Неравенство $-A \leq \frac{1}{x} \leq A$ равносильно $|\frac{1}{x}| \leq A$, или $\frac{1}{|x|} \leq A$.

Так как $|x| > 0$ и $A > 0$, это равносильно $|x| \geq \frac{1}{A}$.

Решением последнего неравенства является объединение $x \geq \frac{1}{A}$ и $x \leq -\frac{1}{A}$.

Подставляем $A = \log_3(2+\sqrt{3})$ и используем свойство логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$: $x \geq \log_{2+\sqrt{3}}3$ или $x \leq -\log_{2+\sqrt{3}}3$.

Ответ: $(-\infty; -\log_{2+\sqrt{3}}3] \cup [\log_{2+\sqrt{3}}3; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $4^{1-x} + 2^{1-x} - 4 < 4 \cdot 2^{1-x} - 6$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые: $4^{1-x} + 2^{1-x} - 4 \cdot 2^{1-x} - 4 + 6 < 0$, что упрощается до $4^{1-x} - 3 \cdot 2^{1-x} + 2 < 0$.

Так как $4^{1-x} = (2^2)^{1-x} = (2^{1-x})^2$, сделаем замену $t = 2^{1-x}$, где $t > 0$.

Получим квадратное неравенство: $t^2 - 3t + 2 < 0$.

Корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$ по теореме Виета равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Решение неравенства для $t$: $1 < t < 2$.

Возвращаемся к переменной $x$: $1 < 2^{1-x} < 2$.

Представим 1 и 2 как степени двойки: $2^0 < 2^{1-x} < 2^1$.

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей: $0 < 1-x < 1$.

Решим это двойное неравенство. Из $0 < 1-x$ следует $x < 1$. Из $1-x < 1$ следует $-x < 0$, то есть $x > 0$.

Объединяя оба условия, получаем $0 < x < 1$.

Ответ: $(0; 1)$.

4) Исходное неравенство: $4^{x+2} - 6 \cdot 2^{x+2} + 8 < 0$.

Заметим, что $4^{x+2} = (2^2)^{x+2} = (2^{x+2})^2$.

Сделаем замену переменной $t = 2^{x+2}$. Условие на замену: $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $t^2 - 6t + 8 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета, $t_1=2$ и $t_2=4$.

Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства находится между корнями: $2 < t < 4$.

Сделаем обратную замену: $2 < 2^{x+2} < 4$.

Представим 2 и 4 в виде степеней двойки: $2^1 < 2^{x+2} < 2^2$.

Так как основание $2 > 1$, перейдем к неравенству для показателей: $1 < x+2 < 2$.

Вычтем 2 из всех частей неравенства: $1 - 2 < x < 2 - 2$.

Получаем: $-1 < x < 0$.

Ответ: $(-1; 0)$.

18.13. 1) $4^x - 9^x < 0;$

2) $5 \cdot 4^x < 4 \cdot 5^x;$

3) $3^{x-3} - 2^{x-3} < 0;$

4) $2^{2x+1} - 5^{2x+1} > 0.$

1) $4^x - 9^x < 0$

Перенесем $-9^x$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$4^x < 9^x$

Поскольку $9^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $9^x$, не меняя знака неравенства:

$\frac{4^x}{9^x} < 1$

Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$(\frac{4}{9})^x < 1$

Представим число 1 в виде степени с основанием $\frac{4}{9}$:

$(\frac{4}{9})^x < (\frac{4}{9})^0$

Так как основание степени $a = \frac{4}{9}$ находится в интервале $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Это означает, что для показателей степеней неравенство будет иметь противоположный знак:

$x > 0$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

2) $5 \cdot 4^x < 4 \cdot 5^x$

Сгруппируем члены с $x$ в одной части неравенства, а константы — в другой. Разделим обе части на $5^x$ (что всегда больше нуля) и на 5:

$\frac{4^x}{5^x} < \frac{4}{5}$

Применим свойство степеней:

$(\frac{4}{5})^x < \frac{4}{5}$

Представим правую часть в виде степени:

$(\frac{4}{5})^x < (\frac{4}{5})^1$

Основание степени $a = \frac{4}{5}$ находится в интервале $0 < a < 1$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

3) $3^{x-3} - 2^{x-3} < 0$

Перенесем $-2^{x-3}$ в правую часть неравенства:

$3^{x-3} < 2^{x-3}$

Разделим обе части на $2^{x-3}$ (что всегда больше нуля), не меняя знака неравенства:

$\frac{3^{x-3}}{2^{x-3}} < 1$

$(\frac{3}{2})^{x-3} < 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{3}{2}$:

$(\frac{3}{2})^{x-3} < (\frac{3}{2})^0$

Так как основание степени $a = \frac{3}{2}$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x-3 < 0$

$x < 3$

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

4) $2^{2x+1} - 5^{2x+1} > 0$

Перенесем $-5^{2x+1}$ в правую часть неравенства:

$2^{2x+1} > 5^{2x+1}$

Разделим обе части на $5^{2x+1}$ (что всегда больше нуля):

$\frac{2^{2x+1}}{5^{2x+1}} > 1$

$(\frac{2}{5})^{2x+1} > 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{2}{5}$:

$(\frac{2}{5})^{2x+1} > (\frac{2}{5})^0$

Основание степени $a = \frac{2}{5}$ находится в интервале $0 < a < 1$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$2x+1 < 0$

$2x < -1$

$x < -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\infty; -0.5)$.

18.14. Найдите общее решение неравенств:

1) $3^x > 9$ и $x - 2 < 6$;

2) $(\frac{1}{5})^x > 25^{-1}$ и $1 - x < 0$;

3) $(\frac{1}{2})^x < 8^{-1}$ и $4x - 3 > 1$;

4) $4^x < 64$ и $5 - 2x < 0$.

1) Чтобы найти общее решение, нужно решить каждое неравенство в системе и найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство: $3^x > 9$.

Представим число 9 как степень с основанием 3: $9 = 3^2$.

Неравенство примет вид: $3^x > 3^2$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что для показателей степени знак неравенства сохраняется: $x > 2$.

Решим второе неравенство: $x - 2 < 6$.

Перенесем -2 в правую часть с противоположным знаком: $x < 6 + 2$.

Получаем: $x < 8$.

Теперь найдем общее решение, то есть пересечение множеств $x > 2$ и $x < 8$. Это все числа, которые одновременно больше 2 и меньше 8.

Таким образом, решение системы: $2 < x < 8$.

Ответ: $(2; 8)$.

2) Решим систему неравенств $(\frac{1}{5})^x > 25^{-1}$ и $1 - x < 0$.

Решим первое неравенство: $(\frac{1}{5})^x > 25^{-1}$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, к 5. Мы знаем, что $\frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $25 = 5^2$.

Неравенство принимает вид: $(5^{-1})^x > (5^2)^{-1}$, что равносильно $5^{-x} > 5^{-2}$.

Так как основание $5 > 1$, сравниваем показатели степеней, сохраняя знак неравенства: $-x > -2$.

Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства на противоположный: $x < 2$.

Решим второе неравенство: $1 - x < 0$.

Перенесем $x$ в правую часть: $1 < x$, или $x > 1$.

Найдем пересечение решений $x < 2$ и $x > 1$.

Общее решение: $1 < x < 2$.

Ответ: $(1; 2)$.

3) Решим систему неравенств $(\frac{1}{2})^x < 8^{-1}$ и $4x - 3 > 1$.

Решим первое неравенство: $(\frac{1}{2})^x < 8^{-1}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $8 = 2^3 = (\frac{1}{2})^{-3}$.

Тогда $8^{-1} = ((\frac{1}{2})^{-3})^{-1} = (\frac{1}{2})^3$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^x < (\frac{1}{2})^3$.

Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x > 3$.

Решим второе неравенство: $4x - 3 > 1$.

Прибавим 3 к обеим частям: $4x > 1 + 3$, что дает $4x > 4$.

Разделим обе части на 4: $x > 1$.

Найдем пересечение решений: $x > 3$ и $x > 1$. Пересечением этих двух условий является более сильное условие $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$.

4) Решим систему неравенств $4^x < 64$ и $5 - 2x < 0$.

Решим первое неравенство: $4^x < 64$.

Представим 64 как степень числа 4: $64 = 4^3$.

Неравенство примет вид: $4^x < 4^3$.

Так как основание $4 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется: $x < 3$.

Решим второе неравенство: $5 - 2x < 0$.

Перенесем $2x$ в правую часть: $5 < 2x$.

Разделим обе части на 2: $\frac{5}{2} < x$, или $x > 2.5$.

Найдем пересечение решений: $x < 3$ и $x > 2.5$.

Общее решение: $2.5 < x < 3$.

Ответ: $(2.5; 3)$.