Номер 18.14, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.14. Найдите общее решение неравенств:

1) $3^x > 9$ и $x - 2 < 6$;

2) $(\frac{1}{5})^x > 25^{-1}$ и $1 - x < 0$;

3) $(\frac{1}{2})^x < 8^{-1}$ и $4x - 3 > 1$;

4) $4^x < 64$ и $5 - 2x < 0$.

1) Чтобы найти общее решение, нужно решить каждое неравенство в системе и найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство: $3^x > 9$.

Представим число 9 как степень с основанием 3: $9 = 3^2$.

Неравенство примет вид: $3^x > 3^2$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что для показателей степени знак неравенства сохраняется: $x > 2$.

Решим второе неравенство: $x - 2 < 6$.

Перенесем -2 в правую часть с противоположным знаком: $x < 6 + 2$.

Получаем: $x < 8$.

Теперь найдем общее решение, то есть пересечение множеств $x > 2$ и $x < 8$. Это все числа, которые одновременно больше 2 и меньше 8.

Таким образом, решение системы: $2 < x < 8$.

Ответ: $(2; 8)$.

2) Решим систему неравенств $(\frac{1}{5})^x > 25^{-1}$ и $1 - x < 0$.

Решим первое неравенство: $(\frac{1}{5})^x > 25^{-1}$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, к 5. Мы знаем, что $\frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $25 = 5^2$.

Неравенство принимает вид: $(5^{-1})^x > (5^2)^{-1}$, что равносильно $5^{-x} > 5^{-2}$.

Так как основание $5 > 1$, сравниваем показатели степеней, сохраняя знак неравенства: $-x > -2$.

Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства на противоположный: $x < 2$.

Решим второе неравенство: $1 - x < 0$.

Перенесем $x$ в правую часть: $1 < x$, или $x > 1$.

Найдем пересечение решений $x < 2$ и $x > 1$.

Общее решение: $1 < x < 2$.

Ответ: $(1; 2)$.

3) Решим систему неравенств $(\frac{1}{2})^x < 8^{-1}$ и $4x - 3 > 1$.

Решим первое неравенство: $(\frac{1}{2})^x < 8^{-1}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $8 = 2^3 = (\frac{1}{2})^{-3}$.

Тогда $8^{-1} = ((\frac{1}{2})^{-3})^{-1} = (\frac{1}{2})^3$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^x < (\frac{1}{2})^3$.

Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x > 3$.

Решим второе неравенство: $4x - 3 > 1$.

Прибавим 3 к обеим частям: $4x > 1 + 3$, что дает $4x > 4$.

Разделим обе части на 4: $x > 1$.

Найдем пересечение решений: $x > 3$ и $x > 1$. Пересечением этих двух условий является более сильное условие $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$.

4) Решим систему неравенств $4^x < 64$ и $5 - 2x < 0$.

Решим первое неравенство: $4^x < 64$.

Представим 64 как степень числа 4: $64 = 4^3$.

Неравенство примет вид: $4^x < 4^3$.

Так как основание $4 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется: $x < 3$.

Решим второе неравенство: $5 - 2x < 0$.

Перенесем $2x$ в правую часть: $5 < 2x$.

Разделим обе части на 2: $\frac{5}{2} < x$, или $x > 2.5$.

Найдем пересечение решений: $x < 3$ и $x > 2.5$.

Общее решение: $2.5 < x < 3$.

Ответ: $(2.5; 3)$.