Номер 18.13, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.13. 1) $4^x - 9^x < 0;$

2) $5 \cdot 4^x < 4 \cdot 5^x;$

3) $3^{x-3} - 2^{x-3} < 0;$

4) $2^{2x+1} - 5^{2x+1} > 0.$

1) $4^x - 9^x < 0$

Перенесем $-9^x$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$4^x < 9^x$

Поскольку $9^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $9^x$, не меняя знака неравенства:

$\frac{4^x}{9^x} < 1$

Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$(\frac{4}{9})^x < 1$

Представим число 1 в виде степени с основанием $\frac{4}{9}$:

$(\frac{4}{9})^x < (\frac{4}{9})^0$

Так как основание степени $a = \frac{4}{9}$ находится в интервале $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Это означает, что для показателей степеней неравенство будет иметь противоположный знак:

$x > 0$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

2) $5 \cdot 4^x < 4 \cdot 5^x$

Сгруппируем члены с $x$ в одной части неравенства, а константы — в другой. Разделим обе части на $5^x$ (что всегда больше нуля) и на 5:

$\frac{4^x}{5^x} < \frac{4}{5}$

Применим свойство степеней:

$(\frac{4}{5})^x < \frac{4}{5}$

Представим правую часть в виде степени:

$(\frac{4}{5})^x < (\frac{4}{5})^1$

Основание степени $a = \frac{4}{5}$ находится в интервале $0 < a < 1$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

3) $3^{x-3} - 2^{x-3} < 0$

Перенесем $-2^{x-3}$ в правую часть неравенства:

$3^{x-3} < 2^{x-3}$

Разделим обе части на $2^{x-3}$ (что всегда больше нуля), не меняя знака неравенства:

$\frac{3^{x-3}}{2^{x-3}} < 1$

$(\frac{3}{2})^{x-3} < 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{3}{2}$:

$(\frac{3}{2})^{x-3} < (\frac{3}{2})^0$

Так как основание степени $a = \frac{3}{2}$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x-3 < 0$

$x < 3$

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

4) $2^{2x+1} - 5^{2x+1} > 0$

Перенесем $-5^{2x+1}$ в правую часть неравенства:

$2^{2x+1} > 5^{2x+1}$

Разделим обе части на $5^{2x+1}$ (что всегда больше нуля):

$\frac{2^{2x+1}}{5^{2x+1}} > 1$

$(\frac{2}{5})^{2x+1} > 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{2}{5}$:

$(\frac{2}{5})^{2x+1} > (\frac{2}{5})^0$

Основание степени $a = \frac{2}{5}$ находится в интервале $0 < a < 1$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$2x+1 < 0$

$2x < -1$

$x < -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\infty; -0.5)$.