Номер 18.6, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.6. 1) $25^x < 6 \cdot 5^x - 5$;

2) $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$;

3) $4^x + 2^{x+3} > 20$;

4) $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$.

1) $25^x < 6 \cdot 5^x - 5$

Перепишем неравенство, приведя все члены к основанию 5. Так как $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$, получаем:

$(5^x)^2 < 6 \cdot 5^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$(5^x)^2 - 6 \cdot 5^x + 5 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Поскольку показательная функция $y=5^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - 6t + 5 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Парабола $y = t^2 - 6t + 5$ ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями: $1 < t < 5$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$1 < 5^x < 5$

Представим 1 и 5 как степени с основанием 5: $1 = 5^0$, $5 = 5^1$.

$5^0 < 5^x < 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция возрастающая. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей:

$0 < x < 1$

Ответ: $x \in (0; 1)$.

2) $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$

Перепишем неравенство, заметив, что $3^{2x} = (3^x)^2$:

$(3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Условие: $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 10t + 9 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 9$.

Парабола $y = t^2 - 10t + 9$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $1 < t < 9$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$1 < 3^x < 9$

Представим 1 и 9 в виде степеней с основанием 3: $1 = 3^0$, $9 = 3^2$.

$3^0 < 3^x < 3^2$

Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, поэтому:

$0 < x < 2$

Ответ: $x \in (0; 2)$.

3) $4^x + 2^{x+3} > 20$

Преобразуем неравенство, приводя все к основанию 2. $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^x$.

$(2^x)^2 + 8 \cdot 2^x > 20$

Перенесем 20 в левую часть:

$(2^x)^2 + 8 \cdot 2^x - 20 > 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t^2 + 8t - 20 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 8t - 20 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$

$t_{1,2} = \frac{-8 \pm 12}{2}$

$t_1 = \frac{-8 - 12}{2} = -10$, $t_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.

Парабола $y = t^2 + 8t - 20$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $t < -10$ или $t > 2$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t < -10$. Остается $t > 2$.

Вернемся к переменной $x$:

$2^x > 2$

$2^x > 2^1$

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

4) $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$

Представим $2^{2x}$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 3t + 2 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Парабола $y = t^2 - 3t + 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $t$ вне интервала между корнями: $t < 1$ или $t > 2$.

Оба интервала удовлетворяют условию $t > 0$ (для $t < 1$ имеем $0 < t < 1$).

Выполним обратную замену. Получаем совокупность двух неравенств:

$2^x < 1$ или $2^x > 2$

Решим каждое из них:

1) $2^x < 1 \implies 2^x < 2^0$. Так как основание $2 > 1$, то $x < 0$.

2) $2^x > 2 \implies 2^x > 2^1$. Так как основание $2 > 1$, то $x > 1$.

Объединяя решения, получаем:

$x < 0$ или $x > 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.