Номер 18.2, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18.2. 1) $5^{1-x} < 125$;

2) $(\frac{3}{4})^{2x+1} > \frac{27}{64}$;

3) $(\frac{9}{2})^{x+4} > (\frac{4}{81})^{3+x}$;

4) $(\frac{1}{32})^{x} < 8^{2x-1}$.

1) $5^{1-x} < 125$

Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 5.

Представим число 125 в виде степени с основанием 5: $125 = 5^3$.

Исходное неравенство примет вид:

$5^{1-x} < 5^3$

Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$1 - x < 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$-x < 3 - 1$

$-x < 2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -2$

Решением неравенства является интервал $(-2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

2) $(\frac{3}{4})^{2x+1} > \frac{27}{64}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{3}{4}$.

Представим правую часть $\frac{27}{64}$ в виде степени с основанием $\frac{3}{4}$:

$\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{3}{4})^{2x+1} > (\frac{3}{4})^3$

Так как основание степени $0 < \frac{3}{4} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x + 1 < 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$2x < 3 - 1$

$2x < 2$

$x < 1$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

3) $(\frac{9}{2})^{x+4} > (\frac{4}{81})^{3+x}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $\frac{4}{81}$ можно выразить через $\frac{9}{2}$.

$\frac{4}{81} = \frac{2^2}{9^2} = (\frac{2}{9})^2$

Дробь $\frac{2}{9}$ является обратной к дроби $\frac{9}{2}$, то есть $\frac{2}{9} = (\frac{9}{2})^{-1}$.

Тогда $\frac{4}{81} = ((\frac{9}{2})^{-1})^2 = (\frac{9}{2})^{-2}$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$(\frac{9}{2})^{x+4} > ((\frac{9}{2})^{-2})^{3+x}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ упростим правую часть:

$(\frac{9}{2})^{x+4} > (\frac{9}{2})^{-2(3+x)}$

$(\frac{9}{2})^{x+4} > (\frac{9}{2})^{-6-2x}$

Так как основание степени $\frac{9}{2} > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x + 4 > -6 - 2x$

Решим полученное линейное неравенство:

$x + 2x > -6 - 4$

$3x > -10$

$x > -\frac{10}{3}$

Решением неравенства является интервал $(-\frac{10}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\frac{10}{3}; +\infty)$.

4) $(\frac{1}{32})^x < 8^{2x-1}$

Для решения этого неравенства приведем обе его части к общему основанию 2.

Представим левую и правую части в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$

$8 = 2^3$

Подставим эти выражения в неравенство:

$(2^{-5})^x < (2^3)^{2x-1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$2^{-5x} < 2^{3(2x-1)}$

$2^{-5x} < 2^{6x-3}$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-5x < 6x - 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$-5x - 6x < -3$

$-11x < -3$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$11x > 3$

$x > \frac{3}{11}$

Решением неравенства является интервал $(\frac{3}{11}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{11}; +\infty)$.