Номер 17.9, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.9. 1) $3\lg^2(x - 1) - 10\lg(x - 1) + 3 = 0$;

2) $\frac{1}{5 - \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} = 1$;

3) $\lg^2(100x) + \lg^2(10x) = 14 + \lg\frac{1}{x}$;

4) $\lg^2 x - 2\lg x = \lg^2 100 - 1$.

1) $3\lg^2(x-1) - 10\lg(x-1) + 3 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$.

Это уравнение является квадратным относительно $\lg(x-1)$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \lg(x-1)$.

Уравнение принимает вид:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Выполним обратную замену:

1. $\lg(x-1) = \frac{1}{3} \implies x - 1 = 10^{1/3} \implies x = 1 + \sqrt[3]{10}$.

2. $\lg(x-1) = 3 \implies x - 1 = 10^3 \implies x - 1 = 1000 \implies x = 1001$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 1$).

Ответ: $1 + \sqrt[3]{10}$; $1001$.

2) $\frac{1}{5 - \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} = 1$

ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $x > 0$.

2. Знаменатели не равны нулю:

$5 - \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq 5 \implies x \neq 10^5$.

$1 + \lg x \neq 0 \implies \lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1} = 0.1$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \lg x$.

$\frac{1}{5 - t} + \frac{2}{1 + t} = 1$.

Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:

$\frac{1(1+t) + 2(5-t)}{(5-t)(1+t)} = 1$

$1 + t + 10 - 2t = (5-t)(1+t)$

$11 - t = 5 + 5t - t - t^2$

$11 - t = 5 + 4t - t^2$

$t^2 - 5t + 6 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1. $\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$.

2. $\lg x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 10^5$, $x \neq 0.1$).

Ответ: $100$; $1000$.

3) $\lg^2(100x) + \lg^2(10x) = 14 + \lg \frac{1}{x}$

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойства логарифмов: $\lg(ab) = \lg a + \lg b$ и $\lg(a^n) = n\lg a$.

$\lg(100x) = \lg 100 + \lg x = 2 + \lg x$.

$\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$.

$\lg \frac{1}{x} = \lg(x^{-1}) = -\lg x$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(2 + \lg x)^2 + (1 + \lg x)^2 = 14 - \lg x$.

Сделаем замену $t = \lg x$:

$(2+t)^2 + (1+t)^2 = 14 - t$

$(4 + 4t + t^2) + (1 + 2t + t^2) = 14 - t$

$2t^2 + 6t + 5 = 14 - t$

$2t^2 + 7t - 9 = 0$.

Решим квадратное уравнение:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

$t_1 = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$.

$t_2 = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Выполним обратную замену:

1. $\lg x = -4.5 \implies x = 10^{-4.5}$.

2. $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $10^{-4.5}$; $10$.

4) $\lg^2 x - 2\lg x = \lg^2 100 - 1$

ОДЗ: $x > 0$.

Упростим правую часть уравнения:

$\lg 100 = \lg(10^2) = 2$.

$\lg^2 100 = (\lg 100)^2 = 2^2 = 4$.

Следовательно, правая часть равна $4 - 1 = 3$.

Уравнение принимает вид:

$\lg^2 x - 2\lg x = 3$.

Перенесем все в левую часть и сделаем замену $t = \lg x$:

$t^2 - 2t - 3 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

1. $\lg x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$.

2. $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $1000$; $0.1$.