Номер 17.8, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.8. 1) $2\log_3(x - 2) + \log_3(x - 4)^2 = 0;$

2) $2\lg x - \lg 4 + \lg(5 - x^2) = 0;$

3) $\lg(x(x + 9)) + \lg\frac{x + 9}{x} = 0;$

4) $\frac{\lg(\sqrt{x} + 7) - \lg 2}{\lg 8 - \lg(x - 5)} = -1.$

1) Исходное уравнение: $2\log_3(x-2) + \log_3(x-4)^2 = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент первого логарифма должен быть строго больше нуля: $x - 2 > 0$, что дает $x > 2$.

2. Аргумент второго логарифма должен быть строго больше нуля: $(x-4)^2 > 0$, что выполняется для всех $x$, кроме $x=4$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (2, 4) \cup (4, \infty)$.

Теперь решим уравнение. Используем свойство логарифма $n\log_b a = \log_b a^n$:

$\log_3((x-2)^2) + \log_3((x-4)^2) = 0$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b(ac)$:

$\log_3((x-2)^2(x-4)^2) = 0$

По определению логарифма, если $\log_b A = c$, то $A = b^c$.

$(x-2)^2(x-4)^2 = 3^0$

$((x-2)(x-4))^2 = 1$

Это уравнение распадается на два:

а) $(x-2)(x-4) = 1$

$x^2 - 4x - 2x + 8 = 1$

$x^2 - 6x + 7 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.

$x_1 = 3 + \sqrt{2}$. Проверим, входит ли корень в ОДЗ. Так как $\sqrt{2} \approx 1.41$, то $x_1 \approx 4.41$. Этот корень удовлетворяет условию $x > 4$, значит, он подходит.

$x_2 = 3 - \sqrt{2}$. $x_2 \approx 3 - 1.41 = 1.59$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 2$, значит, он является посторонним.

б) $(x-2)(x-4) = -1$

$x^2 - 6x + 8 = -1$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x_3 = 3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $2 < 3 < 4$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $3; 3+\sqrt{2}$.

2) Исходное уравнение: $2\lg x - \lg 4 + \lg(5 - x^2) = 0$.

Найдем ОДЗ:

1. $x > 0$

2. $5 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 5 \Rightarrow -\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$.

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (0, \sqrt{5})$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$\lg(x^2) - \lg 4 + \lg(5 - x^2) = 0$

$\lg\left(\frac{x^2(5 - x^2)}{4}\right) = 0$

По определению десятичного логарифма (основание 10):

$\frac{x^2(5 - x^2)}{4} = 10^0 = 1$

$x^2(5 - x^2) = 4$

$5x^2 - x^4 = 4$

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$. Так как $x \in (0, \sqrt{5})$, то $t \in (0, 5)$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \in (0, 5)$.

Вернемся к переменной $x$:

а) $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

б) $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

Проверим найденные значения по ОДЗ $x \in (0, \sqrt{5})$ (учитывая, что $\sqrt{5} \approx 2.23$):

$x = 1$ - подходит.

$x = -1$ - не подходит (так как $x>0$).

$x = 2$ - подходит (так как $2 < \sqrt{5}$).

$x = -2$ - не подходит (так как $x>0$).

Ответ: $1; 2$.

3) Исходное уравнение: $\lg(x(x+9)) + \lg\frac{x+9}{x} = 0$.

Найдем ОДЗ:

1. $x(x+9) > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -9) \cup (0, \infty)$.

2. $\frac{x+9}{x} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -9) \cup (0, \infty)$.

ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty, -9) \cup (0, \infty)$.

Используем свойство суммы логарифмов:

$\lg\left(x(x+9) \cdot \frac{x+9}{x}\right) = 0$

Внутри ОДЗ $x \neq 0$, поэтому можно сократить $x$:

$\lg((x+9)^2) = 0$

По определению логарифма:

$(x+9)^2 = 10^0 = 1$

Извлекаем квадратный корень:

$x+9 = 1$ или $x+9 = -1$.

$x_1 = 1 - 9 = -8$.

$x_2 = -1 - 9 = -10$.

Проверяем корни по ОДЗ:

$x_1 = -8$ не входит в ОДЗ, так как $-8$ не принадлежит $(-\infty, -9) \cup (0, \infty)$.

$x_2 = -10$ входит в ОДЗ, так как $-10 < -9$.

Ответ: $-10$.

4) Исходное уравнение: $\frac{\lg\sqrt{x+7}-\lg 2}{\lg 8 - \lg(x-5)} = -1$.

Найдем ОДЗ:

1. Подрадикальное выражение: $x+7 > 0 \Rightarrow x > -7$.

2. Аргумент логарифма: $x-5 > 0 \Rightarrow x > 5$.

3. Знаменатель не равен нулю: $\lg 8 - \lg(x-5) \neq 0 \Rightarrow \lg 8 \neq \lg(x-5) \Rightarrow 8 \neq x-5 \Rightarrow x \neq 13$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (5, 13) \cup (13, \infty)$.

Решаем уравнение. Умножим обе части на знаменатель:

$\lg\sqrt{x+7}-\lg 2 = -(\lg 8 - \lg(x-5)) $

$\lg\sqrt{x+7}-\lg 2 = \lg(x-5) - \lg 8$

Используем свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b(a/c)$:

$\lg\frac{\sqrt{x+7}}{2} = \lg\frac{x-5}{8}$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{\sqrt{x+7}}{2} = \frac{x-5}{8}$

Умножим обе части на 8:

$4\sqrt{x+7} = x-5$

Для решения этого иррационального уравнения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$. Это условие уже входит в наше ОДЗ.

Возводим обе части в квадрат:

$16(x+7) = (x-5)^2$

$16x + 112 = x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 26x - 87 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-26)^2 - 4(1)(-87) = 676 + 348 = 1024 = 32^2$.

$x = \frac{26 \pm 32}{2}$

$x_1 = \frac{26+32}{2} = \frac{58}{2} = 29$.

$x_2 = \frac{26-32}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Проверяем корни по ОДЗ $x \in (5, 13) \cup (13, \infty)$:

$x_1 = 29$ - подходит.

$x_2 = -3$ - не подходит.

Ответ: $29$.