Номер 17.10, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.10. 1) $log_{1/2}^2 (4x) + log_2 (\frac{x^2}{8}) = 8;$

2) $log_2^2 x^5 - 5log_2 x^3 = 10;$

3) $lg(10x) \cdot lg (0.1 \cdot x) = lgx^3 - 3;$

4) $\frac{1 - lg^2 (x^2)}{lgx - 2lg^2 x} = 4 lgx + 5.$

1) $\log_{\frac{1}{2}}^2(4x) + \log_2\frac{x^2}{8} = 8$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $4x > 0 \implies x > 0$ $\frac{x^2}{8} > 0 \implies x \neq 0$ Следовательно, ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Приведем все логарифмы к основанию 2. $\log_{\frac{1}{2}}(4x) = \log_{2^{-1}}(4x) = -\log_2(4x) = -(\log_2 4 + \log_2 x) = -(2 + \log_2 x)$. Тогда первый член уравнения: $\log_{\frac{1}{2}}^2(4x) = (-(2 + \log_2 x))^2 = (2 + \log_2 x)^2 = 4 + 4\log_2 x + \log_2^2 x$.

Преобразуем второй член: $\log_2\frac{x^2}{8} = \log_2(x^2) - \log_2 8 = 2\log_2 x - 3$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение: $(4 + 4\log_2 x + \log_2^2 x) + (2\log_2 x - 3) = 8$.

Приведем подобные слагаемые: $\log_2^2 x + 6\log_2 x + 1 = 8$ $\log_2^2 x + 6\log_2 x - 7 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид: $t^2 + 6t - 7 = 0$. Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -6$ $t_1 \cdot t_2 = -7$ Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -7$.

Выполним обратную замену: 1. $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$. Корень входит в ОДЗ ($2 > 0$). 2. $\log_2 x = -7 \implies x = 2^{-7} = \frac{1}{128}$. Корень входит в ОДЗ ($\frac{1}{128} > 0$).

Ответ: $2; \frac{1}{128}$.

2) $\log_2^2 x^5 - 5\log_2 x^3 = 10$

ОДЗ: $x^5 > 0$ и $x^3 > 0$, что равносильно $x > 0$.

Используем свойство логарифма степени $\log_a b^p = p \log_a b$: $\log_2 x^5 = 5\log_2 x$ $\log_2 x^3 = 3\log_2 x$

Подставим в уравнение: $(5\log_2 x)^2 - 5(3\log_2 x) = 10$ $25\log_2^2 x - 15\log_2 x - 10 = 0$.

Разделим все уравнение на 5: $5\log_2^2 x - 3\log_2 x - 2 = 0$.

Сделаем замену $t = \log_2 x$: $5t^2 - 3t - 2 = 0$. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(5)(-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$. $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$. $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Вернемся к исходной переменной: 1. $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$. Корень входит в ОДЗ. 2. $\log_2 x = -\frac{2}{5} \implies x = 2^{-2/5} = \frac{1}{2^{2/5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{2^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{4}}$. Корень входит в ОДЗ.

Ответ: $2; \frac{1}{\sqrt[5]{4}}$.

3) $\lg(10x) \cdot \lg(0.1x) = \lg x^3 - 3$

ОДЗ: $10x > 0$, $0.1x > 0$, $x^3 > 0$. Все эти условия выполняются при $x > 0$.

Преобразуем логарифмы, используя свойства логарифма произведения и степени ($\lg$ — это десятичный логарифм $\log_{10}$): $\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$. $\lg(0.1x) = \lg(10^{-1}x) = \lg 10^{-1} + \lg x = -1 + \lg x$. $\lg x^3 = 3\lg x$.

Подставим в уравнение: $(1 + \lg x)(-1 + \lg x) = 3\lg x - 3$. В левой части используем формулу разности квадратов: $(\lg x)^2 - 1^2 = 3\lg x - 3$ $\lg^2 x - 1 = 3\lg x - 3$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону: $\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0$.

Сделаем замену $t = \lg x$: $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 3$ $t_1 \cdot t_2 = 2$ Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену: 1. $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$. Корень входит в ОДЗ. 2. $\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$. Корень входит в ОДЗ.

Ответ: $10; 100$.

4) $\frac{1 - \lg^2(x^2)}{\lg x - 2\lg^2 x} = 4\lg x + 5$

ОДЗ: 1. Аргументы логарифмов положительны: $x^2 > 0 \implies x \neq 0$ и $x > 0$. Следовательно, $x > 0$. 2. Знаменатель не равен нулю: $\lg x - 2\lg^2 x \neq 0$. $\lg x(1 - 2\lg x) \neq 0$. Отсюда $\lg x \neq 0$ и $1 - 2\lg x \neq 0$. $\lg x \neq 0 \implies x \neq 1$. $2\lg x \neq 1 \implies \lg x \neq \frac{1}{2} \implies x \neq 10^{1/2} = \sqrt{10}$. Итак, ОДЗ: $x > 0, x \neq 1, x \neq \sqrt{10}$.

Преобразуем числитель и знаменатель дроби: Числитель: $1 - \lg^2(x^2) = 1 - (2\lg x)^2 = 1 - 4\lg^2 x = (1 - 2\lg x)(1 + 2\lg x)$. Знаменатель: $\lg x - 2\lg^2 x = \lg x(1 - 2\lg x)$.

Подставим в уравнение: $\frac{(1 - 2\lg x)(1 + 2\lg x)}{\lg x(1 - 2\lg x)} = 4\lg x + 5$. Сократим дробь на $(1 - 2\lg x)$, так как по ОДЗ это выражение не равно нулю: $\frac{1 + 2\lg x}{\lg x} = 4\lg x + 5$.

Сделаем замену $t = \lg x$: $\frac{1 + 2t}{t} = 4t + 5$. Умножим обе части на $t$ (по ОДЗ $t \neq 0$): $1 + 2t = t(4t + 5)$ $1 + 2t = 4t^2 + 5t$ $4t^2 + 3t - 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение: $D = 3^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$. $t_1 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. $t_2 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$.

Вернемся к переменной $x$: 1. $\lg x = \frac{1}{4} \implies x = 10^{1/4} = \sqrt[4]{10}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. 2. $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $0.1; \sqrt[4]{10}$.