Номер 17.3, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.3. 1) $\lg_2(x^2 - 2x) = 3;$

2) $\log_{\frac{1}{5}}(4x + x^2) = -1;$

3) $\lg_{0.5}(x^3 + 1) = -1;$

4) $\lg(7x - x^2) = 1.$

1) Решим логарифмическое уравнение $log_2(x^2 - 2x) = 3$.

Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 2x > 0$

$x(x - 2) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

Теперь решим само уравнение, используя определение логарифма: $log_a(b) = c \iff a^c = b$.

$x^2 - 2x = 2^3$

$x^2 - 2x = 8$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 2, а их произведение равно -8. Легко подобрать корни:

$x_1 = 4$

$x_2 = -2$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 4$ принадлежит интервалу $(2, +\infty)$, значит, он является решением.

Корень $x_2 = -2$ принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, значит, он также является решением.

Ответ: -2; 4.

2) Решим уравнение $log_{\frac{1}{3}}(4x + x^2) = -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ):

$4x + x^2 > 0$

$x(4 + x) > 0$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -4) \cup (0, +\infty)$.

По определению логарифма:

$4x + x^2 = (\frac{1}{3})^{-1}$

$4x + x^2 = 3$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 4x - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}$

Получаем два корня:

$x_1 = -2 + \sqrt{7}$

$x_2 = -2 - \sqrt{7}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Так как $2 < \sqrt{7} < 3$, то:

$x_1 = -2 + \sqrt{7} > -2 + 2 = 0$. Этот корень входит в ОДЗ.

$x_2 = -2 - \sqrt{7} < -2 - 2 = -4$. Этот корень также входит в ОДЗ.

Ответ: $-2 - \sqrt{7}$; $-2 + \sqrt{7}$.

3) Решим уравнение $log_{0.5}(x^3 + 1) = -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ):

$x^3 + 1 > 0$

$x^3 > -1$

$x > -1$

Теперь решаем уравнение. Заметим, что $0.5 = \frac{1}{2}$.

$x^3 + 1 = (0.5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1}$

$x^3 + 1 = 2$

$x^3 = 2 - 1$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Проверим корень на соответствие ОДЗ: $1 > -1$. Корень подходит.

Ответ: 1.

4) Решим уравнение $lg(7x - x^2) = 1$.

Здесь $lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $log_{10}(7x - x^2) = 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ):

$7x - x^2 > 0$

$x(7 - x) > 0$

Решением этого неравенства является интервал $x \in (0, 7)$.

По определению логарифма:

$7x - x^2 = 10^1$

$7x - x^2 = 10$

Перенесем все в правую часть и запишем в стандартном виде:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = 5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ: