Номер 16.14, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.14. 1) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0,01 \cdot (10^{x-1})^3;$

2) $32^{\frac{x+5}{x-7}} = 0,25 \cdot 128^{\frac{x+17}{x-3}};$

3) $2 \cdot 3^{x-1} - 3^{x-2} = 5^{x-2} + 4 \cdot 5^{x-3};$

4) $8^x - 4^{x+0,5} - 2^x + 2 = 0.$

1) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0,01 \cdot (10^{x-1})^3$

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$(2 \cdot 5)^{x^2-3} = 10^{x^2-3}$

Преобразуем правую часть уравнения. Представим $0,01$ как $10^{-2}$ и раскроем скобки, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$0,01 \cdot (10^{x-1})^3 = 10^{-2} \cdot 10^{3(x-1)} = 10^{-2} \cdot 10^{3x-3}$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$10^{-2 + 3x-3} = 10^{3x-5}$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:

$10^{x^2-3} = 10^{3x-5}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2-3 = 3x-5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 3 + 5 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = 2$

Ответ: $1; 2$.

2) $32^{\frac{x+5}{x-7}} = 0,25 \cdot 128^{\frac{x+17}{x-3}}$

Приведем все основания к степени с основанием 2:

$32 = 2^5$; $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$; $128 = 2^7$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$(2^5)^{\frac{x+5}{x-7}} = 2^{-2} \cdot (2^7)^{\frac{x+17}{x-3}}$

Упростим, используя свойства степеней:

$2^{\frac{5(x+5)}{x-7}} = 2^{-2} \cdot 2^{\frac{7(x+17)}{x-3}}$

$2^{\frac{5x+25}{x-7}} = 2^{-2 + \frac{7x+119}{x-3}}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 7$ и $x \neq 3$.

$\frac{5x+25}{x-7} = -2 + \frac{7x+119}{x-3}$

Перенесем все дроби в одну сторону:

$\frac{5x+25}{x-7} - \frac{7x+119}{x-3} + 2 = 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-7)(x-3)$:

$\frac{(5x+25)(x-3) - (7x+119)(x-7) + 2(x-7)(x-3)}{(x-7)(x-3)} = 0$

Раскроем скобки в числителе:

$(5x^2 - 15x + 25x - 75) - (7x^2 - 49x + 119x - 833) + 2(x^2 - 3x - 7x + 21) = 0$

$(5x^2 + 10x - 75) - (7x^2 + 70x - 833) + 2(x^2 - 10x + 21) = 0$

$5x^2 + 10x - 75 - 7x^2 - 70x + 833 + 2x^2 - 20x + 42 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(5x^2 - 7x^2 + 2x^2) + (10x - 70x - 20x) + (-75 + 833 + 42) = 0$

$0 \cdot x^2 - 80x + 800 = 0$

$-80x = -800$

$x = 10$

Корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $10$.

3) $2 \cdot 3^{x-1} - 3^{x-2} = 5^{x-2} + 4 \cdot 5^{x-3}$

Преобразуем уравнение, используя свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2 \cdot \frac{3^x}{3^1} - \frac{3^x}{3^2} = \frac{5^x}{5^2} + 4 \cdot \frac{5^x}{5^3}$

$\frac{2}{3} \cdot 3^x - \frac{1}{9} \cdot 3^x = \frac{1}{25} \cdot 5^x + \frac{4}{125} \cdot 5^x$

Вынесем $3^x$ и $5^x$ за скобки в обеих частях уравнения:

$3^x \cdot (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) = 5^x \cdot (\frac{1}{25} + \frac{4}{125})$

$3^x \cdot (\frac{6-1}{9}) = 5^x \cdot (\frac{5+4}{125})$

$3^x \cdot \frac{5}{9} = 5^x \cdot \frac{9}{125}$

Разделим обе части на $5^x$ и на $\frac{5}{9}$ (это возможно, так как $5^x > 0$):

$\frac{3^x}{5^x} = \frac{9/125}{5/9}$

$(\frac{3}{5})^x = \frac{9}{125} \cdot \frac{9}{5}$

$(\frac{3}{5})^x = \frac{81}{625}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{3}{5}$:

$\frac{81}{625} = \frac{3^4}{5^4} = (\frac{3}{5})^4$

$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^4$

Отсюда следует:

$x=4$

Ответ: $4$.

4) $8^x - 4^{x+0,5} - 2^x + 2 = 0$

Приведем все степени к основанию 2:

$(2^3)^x - (2^2)^{x+0,5} - 2^x + 2 = 0$

$2^{3x} - 2^{2(x+0,5)} - 2^x + 2 = 0$

$2^{3x} - 2^{2x+1} - 2^x + 2 = 0$

$(2^x)^3 - 2^{2x} \cdot 2^1 - 2^x + 2 = 0$

$(2^x)^3 - 2 \cdot (2^x)^2 - 2^x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то $t>0$.

$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0$

Решим кубическое уравнение методом группировки:

$(t^3 - 2t^2) - (t - 2) = 0$

$t^2(t - 2) - 1(t - 2) = 0$

$(t^2 - 1)(t - 2) = 0$

$(t - 1)(t + 1)(t - 2) = 0$

Корни уравнения для $t$: $t_1 = 1$, $t_2 = -1$, $t_3 = 2$.

Вернемся к замене, учитывая условие $t > 0$. Корень $t_2 = -1$ не подходит.

1. $t_1 = 1 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x_1 = 0$.

2. $t_3 = 2 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x_2 = 1$.

Ответ: $0; 1$.