Номер 16.10, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (16.10–16.14):

16.10. 1) $2^{x^2-6x+0.5} = \frac{1}{16\sqrt{2}};$

2) $16\sqrt[5]{8^{x^2-3x-5}} = 128;$

3) $\left(\frac{9}{16}\right)^{x+1} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{2x^2+5x} = \left(\frac{64}{27}\right)^3;$

4) $3^{x+1} \cdot 4^x = 0.25 \cdot 12^{3x-1}.$

1) $2^{x^2 - 6x + 0,5} = \frac{1}{16\sqrt{2}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Правая часть:

$16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{4+0,5} = 2^{4,5}$

Следовательно, $\frac{1}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{4,5}} = 2^{-4,5}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{x^2 - 6x + 0,5} = 2^{-4,5}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x^2 - 6x + 0,5 = -4,5$

$x^2 - 6x + 0,5 + 4,5 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Ответ: 1; 5.

2) $16\sqrt[5]{8^{x^2 - 3x - 5}} = 128$

Приведем все множители к основанию 2:

$16 = 2^4$

$8 = 2^3$

$128 = 2^7$

Подставим эти значения в уравнение:

$2^4 \cdot \sqrt[5]{(2^3)^{x^2 - 3x - 5}} = 2^7$

Используем свойства степеней ($\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^4 \cdot (2^3)^{\frac{x^2 - 3x - 5}{5}} = 2^7$

$2^4 \cdot 2^{\frac{3(x^2 - 3x - 5)}{5}} = 2^7$

$2^{4 + \frac{3x^2 - 9x - 15}{5}} = 2^7$

Приравниваем показатели степеней:

$4 + \frac{3x^2 - 9x - 15}{5} = 7$

$\frac{3x^2 - 9x - 15}{5} = 3$

$3x^2 - 9x - 15 = 15$

$3x^2 - 9x - 30 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -10. Корни уравнения:

$x_1 = 5$, $x_2 = -2$.

Ответ: -2; 5.

3) $(\frac{9}{16})^{x+1} \cdot (\frac{4}{3})^{2x^2+5x} = (\frac{64}{27})^3$

Приведем все основания к одному, например, к $\frac{4}{3}$:

$\frac{9}{16} = (\frac{3}{4})^2 = ((\frac{4}{3})^{-1})^2 = (\frac{4}{3})^{-2}$

$\frac{64}{27} = (\frac{4}{3})^3$

Подставляем в исходное уравнение:

$((\frac{4}{3})^{-2})^{x+1} \cdot (\frac{4}{3})^{2x^2+5x} = ((\frac{4}{3})^3)^3$

Упрощаем, используя свойства степеней:

$(\frac{4}{3})^{-2(x+1)} \cdot (\frac{4}{3})^{2x^2+5x} = (\frac{4}{3})^{9}$

$(\frac{4}{3})^{-2x - 2 + 2x^2 + 5x} = (\frac{4}{3})^{9}$

$(\frac{4}{3})^{2x^2 + 3x - 2} = (\frac{4}{3})^{9}$

Приравниваем показатели степеней:

$2x^2 + 3x - 2 = 9$

$2x^2 + 3x - 11 = 0$

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-11) = 9 + 88 = 97$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{97}}{4}$

Ответ: $\frac{-3 - \sqrt{97}}{4}$; $\frac{-3 + \sqrt{97}}{4}$.

4) $3^{x+1} \cdot 4^x = 0,25 \cdot 12^{3x-1}$

Преобразуем уравнение, используя общие основания. Заметим, что $12 = 3 \cdot 4$ и $0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$.

Преобразуем левую часть:

$3^{x+1} \cdot 4^x = 3 \cdot 3^x \cdot 4^x = 3 \cdot (3 \cdot 4)^x = 3 \cdot 12^x$

Подставим все в уравнение:

$3 \cdot 12^x = 4^{-1} \cdot 12^{3x-1}$

Соберем степени с основанием 12 в одной части уравнения, а числовые коэффициенты в другой:

$\frac{12^x}{12^{3x-1}} = \frac{4^{-1}}{3}$

$12^{x - (3x - 1)} = \frac{1}{4 \cdot 3}$

$12^{-2x + 1} = \frac{1}{12}$

$12^{-2x + 1} = 12^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$-2x + 1 = -1$

$-2x = -2$

$x = 1$

Ответ: 1.