Номер 16.8, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите системы уравнений (16.8—16.9):

16.8. 1) $\begin{cases} 5^{x+y} = 125, \\ 3^{(x-y)^2-1} = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^x + 3^y = 12, \\ 6^{x+y} = 216; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 4^{x+y} = 128, \\ 5^{3x-2y-3} = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3^{2x-y} = \frac{1}{81}, \\ 3^{x-y+2} = 27. \end{cases}$

1) Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} 5^{x+y} = 125 \\ 3^{(x-y)^2-1} = 1 \end{cases} $.

Преобразуем первое уравнение. Так как $125 = 5^3$, то $5^{x+y} = 5^3$. Отсюда следует, что показатели степени равны: $x+y=3$.

Преобразуем второе уравнение. Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, а $1 = 3^0$, то $3^{(x-y)^2-1} = 3^0$. Отсюда следует, что $(x-y)^2-1 = 0$, или $(x-y)^2 = 1$.

Из последнего уравнения получаем два возможных случая: $x-y = 1$ или $x-y = -1$.

Таким образом, исходная система эквивалентна совокупности двух систем линейных уравнений:

А) $ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x=2$. Подставив $x=2$ в первое уравнение, получим $2+y=3$, откуда $y=1$. Первое решение: $(2, 1)$.

Б) $ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = -1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2x = 2$, откуда $x=1$. Подставив $x=1$ в первое уравнение, получим $1+y=3$, откуда $y=2$. Второе решение: $(1, 2)$.

Ответ: $(2, 1)$; $(1, 2)$.

2) Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} 3^x + 3^y = 12 \\ 6^{x+y} = 216 \end{cases} $.

Преобразуем второе уравнение. Так как $216 = 6^3$, то $6^{x+y} = 6^3$. Отсюда следует, что $x+y=3$. Из этого уравнения можно выразить $y$ через $x$: $y=3-x$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы: $3^x + 3^{3-x} = 12$.

Используя свойство степеней $a^{m-n} = a^m/a^n$, перепишем уравнение: $3^x + \frac{3^3}{3^x} = 12$, то есть $3^x + \frac{27}{3^x} = 12$.

Введем замену переменной: пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Уравнение в новых переменных будет выглядеть так: $t + \frac{27}{t} = 12$.

Умножим обе части уравнения на $t$ (это возможно, так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дроби: $t^2 + 27 = 12t$.

Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение: $t^2 - 12t + 27 = 0$.

Решим это уравнение, например, по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 27, а сумма равна 12. Это числа 3 и 9. Таким образом, корни уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны, поэтому оба являются допустимыми решениями.

Вернемся к исходной переменной $x$.

А) Если $t = 3$, то $3^x = 3$, откуда $x=1$. Тогда $y=3-x = 3-1=2$. Первое решение: $(1, 2)$.

Б) Если $t = 9$, то $3^x = 9$, или $3^x = 3^2$, откуда $x=2$. Тогда $y=3-x = 3-2=1$. Второе решение: $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 2)$; $(2, 1)$.

3) Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} 4^{x+y} = 128 \\ 5^{3x-2y-3} = 1 \end{cases} $.

Преобразуем первое уравнение, приведя обе его части к общему основанию 2. Так как $4 = 2^2$ и $128 = 2^7$, уравнение можно записать в виде $(2^2)^{x+y} = 2^7$, или $2^{2(x+y)} = 2^7$.

Приравнивая показатели степени, получаем линейное уравнение: $2(x+y)=7$, то есть $2x+2y=7$.

Преобразуем второе уравнение. Так как $1 = 5^0$, уравнение принимает вид $5^{3x-2y-3} = 5^0$.

Приравнивая показатели степени, получаем: $3x-2y-3=0$, то есть $3x-2y=3$.

В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} 2x+2y=7 \\ 3x-2y=3 \end{cases} $.

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $y$: $(2x+2y) + (3x-2y) = 7+3$, что приводит к уравнению $5x=10$, откуда $x=2$.

Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение системы: $2(2)+2y=7$, то есть $4+2y=7$.

Отсюда $2y=3$, и $y=\frac{3}{2}$ или $y=1.5$.

Ответ: $(2; 1,5)$.

4) Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} 3^{2x-y} = \frac{1}{81} \\ 3^{x-y+2} = 27 \end{cases} $.

Преобразуем первое уравнение, приведя правую часть к основанию 3. Так как $81 = 3^4$, то $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$. Уравнение принимает вид $3^{2x-y} = 3^{-4}$.

Приравнивая показатели степени, получаем: $2x-y = -4$.

Преобразуем второе уравнение. Так как $27 = 3^3$, уравнение принимает вид $3^{x-y+2} = 3^3$.

Приравнивая показатели степени, получаем: $x-y+2 = 3$, то есть $x-y=1$.

В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} 2x-y = -4 \\ x-y = 1 \end{cases} $.

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $y$: $(2x-y) - (x-y) = -4-1$.

Раскрываем скобки: $2x-y - x+y = -5$, что приводит к уравнению $x = -5$.

Подставим найденное значение $x=-5$ во второе уравнение системы: $(-5)-y=1$.

Отсюда $-y=1+5$, то есть $-y=6$, и $y=-6$.

Ответ: $(-5; -6)$.