Номер 16.5, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.5. 1) $ \left(\frac{1}{0,125}\right)^x = 128; $

2) $ 5^{x^2+x-3} = \frac{1}{125}; $

3) $ (0,5)^{x^2-9x+17,5} = \frac{8}{\sqrt{2}}; $

4) $ (0,5)^{x^2-2x-2} = \frac{1}{64}. $

1) $(\frac{1}{0,125})^{x} = 128$.

Сначала преобразуем основание степени в левой части уравнения. Десятичная дробь $0,125$ равна обыкновенной дроби $\frac{125}{1000}$, что после сокращения дает $\frac{1}{8}$.

Тогда основание степени равно $\frac{1}{0,125} = \frac{1}{1/8} = 8$.

Уравнение принимает вид: $8^x = 128$.

Теперь представим обе части уравнения в виде степени с одним и тем же основанием. Удобно использовать основание 2, поскольку $8 = 2^3$ и $128 = 2^7$.

Подставив эти значения в уравнение, получаем: $(2^3)^x = 2^7$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упрощаем левую часть: $2^{3x} = 2^7$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $3x = 7$.

Решая это простое линейное уравнение относительно $x$, находим: $x = \frac{7}{3}$.

Ответ: $x = \frac{7}{3}$.

2) $5^{x^2+x-5} = \frac{1}{125}$.

Чтобы решить это уравнение, приведем обе его части к основанию 5. Правая часть $\frac{1}{125}$ может быть записана как степень числа 5. Так как $125 = 5^3$, то $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$.

Теперь уравнение выглядит так: $5^{x^2+x-5} = 5^{-3}$.

Поскольку основания степеней одинаковы, мы можем приравнять показатели: $x^2+x-5 = -3$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2+x-5+3 = 0$, что упрощается до $x^2+x-2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Либо можно использовать формулу для нахождения корней через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.

Отсюда $x_1 = \frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{-1-3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: $-2; 1$.

3) $(0,5)^{x^2-9x+17,5} = \frac{8}{\sqrt{2}}$.

Приведем обе части уравнения к степеням с основанием 2. В левой части $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Следовательно, левая часть уравнения равна $(2^{-1})^{x^2-9x+17,5} = 2^{-(x^2-9x+17,5)} = 2^{-x^2+9x-17,5}$.

В правой части $8 = 2^3$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{0,5}$. Следовательно, правая часть равна $\frac{2^3}{2^{0,5}} = 2^{3-0,5} = 2^{2,5}$.

Теперь уравнение имеет вид: $2^{-x^2+9x-17,5} = 2^{2,5}$.

Приравниваем показатели степеней: $-x^2+9x-17,5 = 2,5$.

Переносим все члены в одну сторону: $-x^2+9x-17,5-2,5 = 0$, что дает $-x^2+9x-20 = 0$.

Умножим все уравнение на $-1$ для удобства: $x^2-9x+20 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $9$, а произведение равно $20$. Легко подобрать корни: $x_1=4$ и $x_2=5$.

Через дискриминант: $D = (-9)^2 - 4(1)(20) = 81 - 80 = 1$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}$.

$x_1 = \frac{9+1}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{9-1}{2} = 4$.

Ответ: $4; 5$.

4) $(0,5)^{x^2-2x-2} = \frac{1}{64}$.

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Основание в левой части $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда левая часть преобразуется в $(2^{-1})^{x^2-2x-2} = 2^{-(x^2-2x-2)} = 2^{-x^2+2x+2}$.

Правая часть $\frac{1}{64}$. Поскольку $64 = 2^6$, то $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$.

Уравнение принимает вид: $2^{-x^2+2x+2} = 2^{-6}$.

Приравниваем показатели степеней: $-x^2+2x+2 = -6$.

Переносим все в левую часть: $-x^2+2x+2+6=0$, что дает $-x^2+2x+8 = 0$.

Умножим уравнение на $-1$: $x^2-2x-8 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а произведение равно $-8$. Этим условиям удовлетворяют числа $4$ и $-2$.

Решение через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$.

$x_1 = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{2-6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: $-2; 4$.