Номер 16.4, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.4. 1) $3^{x^2+1} + 3^{x^2-1} = 270;$

2) $2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280;$

3) $2^{x^2+x-6} - 2^{x^2+x-9} = 56;$

4) $10^x - 5^{x-1} \cdot 2^{x-2} = 950.$

1) Преобразуем уравнение $3^{x^2+1} + 3^{x^2-1} = 270$, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$. Получим: $3^{x^2} \cdot 3^1 + 3^{x^2} \cdot 3^{-1} = 270$. Вынесем общий множитель $3^{x^2}$ за скобки: $3^{x^2}(3 + 3^{-1}) = 270$. Упростим выражение в скобках: $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$. Тогда уравнение примет вид: $3^{x^2} \cdot \frac{10}{3} = 270$. Выразим $3^{x^2}$: $3^{x^2} = 270 \cdot \frac{3}{10} = 27 \cdot 3 = 81$. Так как $81 = 3^4$, имеем $3^{x^2} = 3^4$. Отсюда следует, что показатели степеней равны: $x^2 = 4$. Решая это уравнение, получаем $x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Ответ: $\pm 2$.

2) Приведем все степени в уравнении $2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280$ к основанию 2. Получаем: $2^{12x-1} - (2^2)^{6x-1} + (2^3)^{4x-1} - (2^4)^{3x-1} = 1280$. Упростим показатели степеней: $2^{12x-1} - 2^{12x-2} + 2^{12x-3} - 2^{12x-4} = 1280$. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{12x-4}$: $2^{12x-4}(2^3 - 2^2 + 2^1 - 2^0) = 1280$. Вычислим значение в скобках: $8 - 4 + 2 - 1 = 5$. Уравнение принимает вид: $2^{12x-4} \cdot 5 = 1280$. Разделим обе части на 5: $2^{12x-4} = 256$. Так как $256 = 2^8$, то $2^{12x-4} = 2^8$. Приравниваем показатели: $12x - 4 = 8$, откуда $12x = 12$ и $x = 1$. Ответ: 1.

3) В уравнении $2^{x^2+x-6} - 2^{x^2+x-9} = 56$ воспользуемся свойством степеней, чтобы вынести общий множитель. Заметим, что $x^2+x-6 = (x^2+x-9)+3$. Тогда уравнение можно переписать в виде: $2^{x^2+x-9} \cdot 2^3 - 2^{x^2+x-9} = 56$. Вынесем $2^{x^2+x-9}$ за скобки: $2^{x^2+x-9}(2^3 - 1) = 56$. Упростим выражение в скобках: $8 - 1 = 7$. Получаем $2^{x^2+x-9} \cdot 7 = 56$. Разделим обе части на 7: $2^{x^2+x-9} = 8$. Поскольку $8 = 2^3$, имеем $2^{x^2+x-9} = 2^3$. Приравнивая показатели, получаем квадратное уравнение: $x^2 + x - 9 = 3$, или $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Ответ: -4; 3.

4) Преобразуем левую часть уравнения $10^x - 5^{x-1} \cdot 2^{x-2} = 950$. Представим $10^x$ как $(2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$. Второй член преобразуем так: $5^{x-1} \cdot 2^{x-2} = 5^x \cdot 5^{-1} \cdot 2^x \cdot 2^{-2} = (2^x \cdot 5^x) \cdot (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4}) = 10^x \cdot \frac{1}{20}$. Уравнение принимает вид: $10^x - \frac{1}{20} \cdot 10^x = 950$. Вынесем $10^x$ за скобки: $10^x(1 - \frac{1}{20}) = 950$. Упростим выражение в скобках: $1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$. Получаем $10^x \cdot \frac{19}{20} = 950$. Выразим $10^x$: $10^x = 950 \cdot \frac{20}{19}$. Так как $950 / 19 = 50$, то $10^x = 50 \cdot 20 = 1000$. Поскольку $1000 = 10^3$, получаем $x=3$. Ответ: 3.