Номер 16.9, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.9. 1)

$\begin{cases} 4^{x+y} = 16, \\ 4^{x+2y-1} = 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 6^{2x-y} = \sqrt{6}, \\ 2^{y-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}}; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 5^{2x+y} = 125, \\ 7^{3x-2y} = 7; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 3^{4x-3y} = 27\sqrt{3}, \\ 2^{4y+x} = \frac{1}{2\sqrt{2}}. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4^{x+y} = 16 \\ 4^{x+2y-1} = 1 \end{cases} $

Представим правые части уравнений в виде степеней с основанием 4. Известно, что $16 = 4^2$ и $1 = 4^0$.

Подставив эти значения, получим систему:

$ \begin{cases} 4^{x+y} = 4^2 \\ 4^{x+2y-1} = 4^0 \end{cases} $

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели. Это приводит к системе линейных уравнений:

$ \begin{cases} x+y = 2 \\ x+2y-1 = 0 \end{cases} $

Упростим второе уравнение, перенеся -1 в правую часть:

$ \begin{cases} x+y = 2 \\ x+2y = 1 \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(x+2y) - (x+y) = 1 - 2$

$x+2y-x-y = -1$

$y = -1$

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x + (-1) = 2$

$x = 2 + 1$

$x = 3$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(3; -1)$.

Ответ: $(3; -1)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6^{2x-y} = \sqrt{6} \\ 2^{y-2x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} $

Приведем правые части уравнений к степеням с основаниями 6 и 2 соответственно.

$\sqrt{6} = 6^{1/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2}$

Система принимает вид:

$ \begin{cases} 6^{2x-y} = 6^{1/2} \\ 2^{y-2x} = 2^{-1/2} \end{cases} $

Приравняем показатели степеней в каждом уравнении:

$ \begin{cases} 2x-y = \frac{1}{2} \\ y-2x = -\frac{1}{2} \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение: $y-2x = -\frac{1}{2}$. Умножим обе части на -1:

$-(y-2x) = -(-\frac{1}{2})$

$-y+2x = \frac{1}{2}$

$2x-y = \frac{1}{2}$

Это уравнение полностью совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что система является линейно зависимой и имеет бесконечное множество решений. Все решения лежат на прямой, заданной уравнением $2x-y = \frac{1}{2}$.

Выразим $y$ через $x$: $y = 2x - \frac{1}{2}$.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений вида $(t; 2t - \frac{1}{2})$, где $t$ — любое действительное число.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5^{2x+y} = 125 \\ 7^{3x-2y} = 7 \end{cases} $

Представим правые части уравнений в виде степеней с основаниями 5 и 7:

$125 = 5^3$

$7 = 7^1$

Система преобразуется к виду:

$ \begin{cases} 5^{2x+y} = 5^3 \\ 7^{3x-2y} = 7^1 \end{cases} $

Приравнивая показатели степеней, получаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x+y = 3 \\ 3x-2y = 1 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 3 - 2x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3x - 2(3 - 2x) = 1$

$3x - 6 + 4x = 1$

$7x = 7$

$x = 1$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=1$ в выражение для $y$:

$y = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$

Решение системы — пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{4x-3y} = 27\sqrt{3} \\ 2^{4y+x} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \end{cases} $

Представим правые части уравнений в виде степеней с основаниями 3 и 2.

Для первого уравнения: $27\sqrt{3} = 3^3 \cdot 3^{1/2} = 3^{3 + 1/2} = 3^{7/2}$.

Для второго уравнения: $\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2^1 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2^{1 + 1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}$.

Система уравнений принимает вид:

$ \begin{cases} 3^{4x-3y} = 3^{7/2} \\ 2^{x+4y} = 2^{-3/2} \end{cases} $

Приравняем показатели степеней:

$ \begin{cases} 4x-3y = \frac{7}{2} \\ x+4y = -\frac{3}{2} \end{cases} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим оба уравнения на 2:

$ \begin{cases} 8x-6y = 7 \\ 2x+8y = -3 \end{cases} $

Решим систему. Из второго уравнения выразим $2x$: $2x = -3 - 8y$.

Тогда $8x = 4 \cdot (2x) = 4(-3 - 8y) = -12 - 32y$.

Подставим это выражение для $8x$ в первое уравнение:

$(-12 - 32y) - 6y = 7$

$-12 - 38y = 7$

$-38y = 19$

$y = -\frac{19}{38} = -\frac{1}{2}$

Найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $2x = -3 - 8y$:

$2x = -3 - 8(-\frac{1}{2})$

$2x = -3 + 4$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Решение системы — пара чисел $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$.