Номер 16.13, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.13. 1) $x \cdot 3^{x-1} + 3 \cdot 3^{\sqrt{6-x}} = 3^x + x \cdot 3^{\sqrt{6-x}}$;

2) $x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}}$;

3) $8^x + 18^x = 2 \cdot 27^x$;

4) $10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99.$

1) $x \cdot 3^{x-1} + 3 \cdot 3^{\sqrt{3}-x} = 3^x + x \cdot 3^{\sqrt{3}-x}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x \cdot 3^{x-1} - 3^x + 3 \cdot 3^{\sqrt{3}-x} - x \cdot 3^{\sqrt{3}-x} = 0$

Сгруппируем слагаемые. Для первых двух слагаемых вынесем общий множитель $3^{x-1}$ (учитывая, что $3^x = 3 \cdot 3^{x-1}$):

$3^{x-1}(x - 3) + 3 \cdot 3^{\sqrt{3}-x} - x \cdot 3^{\sqrt{3}-x} = 0$

Для последних двух слагаемых вынесем общий множитель $3^{\sqrt{3}-x}$:

$3^{x-1}(x - 3) + 3^{\sqrt{3}-x}(3 - x) = 0$

Из второго слагаемого вынесем знак минус, чтобы получить общий множитель $(x-3)$:

$3^{x-1}(x - 3) - 3^{\sqrt{3}-x}(x - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x-3)$ за скобки:

$(x - 3)(3^{x-1} - 3^{\sqrt{3}-x}) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x - 3 = 0 \implies x = 3$

2. $3^{x-1} - 3^{\sqrt{3}-x} = 0 \implies 3^{x-1} = 3^{\sqrt{3}-x}$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$x - 1 = \sqrt{3} - x$

$2x = 1 + \sqrt{3}$

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$.

2) $x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$6 - x \ge 0 \implies x \le 6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} - 16 \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 0$

Вынесем общий множитель $4^{\sqrt{6-x}}$ за скобки:

$(x^2 - 16) \cdot 4^{\sqrt{6-x}} = 0$

Так как показательная функция $4^{\sqrt{6-x}}$ всегда строго положительна ($4^{\sqrt{6-x}} > 0$), то равенство нулю возможно только если первый множитель равен нулю:

$x^2 - 16 = 0$

$x^2 = 16$

$x_1 = 4, x_2 = -4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \le 6$ и $-4 \le 6$).

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -4$.

3) $8^x + 18^x = 2 \cdot 27^x$

Представим основания степеней в виде произведений простых чисел:

$(2^3)^x + (2 \cdot 3^2)^x = 2 \cdot (3^3)^x$

$2^{3x} + 2^x \cdot 3^{2x} = 2 \cdot 3^{3x}$

Так как $27^x = 3^{3x} > 0$ при любом $x$, разделим обе части уравнения на $3^{3x}$:

$\frac{2^{3x}}{3^{3x}} + \frac{2^x \cdot 3^{2x}}{3^{3x}} = 2$

$(\frac{2}{3})^{3x} + \frac{2^x}{3^x} = 2$

$(\frac{2}{3})^{3x} + (\frac{2}{3})^x - 2 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = (\frac{2}{3})^x$. Так как основание степени положительно, то $y > 0$.

$y^3 + y - 2 = 0$

Подбором находим, что $y = 1$ является корнем уравнения: $1^3 + 1 - 2 = 0$.

Разделим многочлен $y^3 + y - 2$ на $(y-1)$:

$(y-1)(y^2 + y + 2) = 0$

Рассмотрим квадратное уравнение $y^2 + y + 2 = 0$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением для $y$ является $y = 1$.

Вернемся к замене:

$(\frac{2}{3})^x = 1$

$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^0$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

4) $10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99$

Используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:

$10^1 \cdot 10^{x^2} - \frac{10^1}{10^{x^2}} = 99$

$10 \cdot 10^{x^2} - \frac{10}{10^{x^2}} = 99$

Сделаем замену. Пусть $y = 10^{x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $10^{x^2} \ge 10^0$, следовательно $y \ge 1$.

Подставляем $y$ в уравнение:

$10y - \frac{10}{y} = 99$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \ge 1$, то $y \neq 0$):

$10y^2 - 10 = 99y$

$10y^2 - 99y - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-99)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 9801 + 400 = 10201 = 101^2$

$y_1 = \frac{99 - 101}{2 \cdot 10} = \frac{-2}{20} = -0.1$

$y_2 = \frac{99 + 101}{2 \cdot 10} = \frac{200}{20} = 10$

Корень $y_1 = -0.1$ не удовлетворяет условию $y \ge 1$, поэтому он является посторонним.

Остается корень $y_2 = 10$. Вернемся к замене:

$10^{x^2} = 10$

$10^{x^2} = 10^1$

$x^2 = 1$

$x_1 = 1, x_2 = -1$

Ответ: $x = \pm 1$.