Вопросы, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Обязательно ли надо находить область допустимых значений переменной логарифмического уравнения?

2. Назовите общие способы решения показательных и логарифмических уравнений.

3. В каких случаях значение переменной $x$ не является решением логарифмического уравнения? Ответ обоснуйте.

1. Обязательно ли надо находить область допустимых значений переменной логарифмического уравнения?

Находить область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения не всегда является единственно возможным шагом, но это один из надежных способов избежать получения посторонних корней. Существует несколько подходов к решению этой задачи:

1. Нахождение ОДЗ в начале решения. Это классический и самый надежный метод. Вы сначала находите все значения переменной $x$, при которых все логарифмические выражения в уравнении имеют смысл. Затем, решив уравнение, вы отбрасываете те корни, которые не входят в найденную ОДЗ. Этот метод хорош, когда неравенства для ОДЗ решаются достаточно просто.

2. Проверка корней в конце решения. Можно сначала решить уравнение, не обращая внимания на ограничения, а затем подставить найденные значения в исходное уравнение. Если при подстановке какого-либо корня аргумент хотя бы одного логарифма окажется неположительным ($ \le 0$) или основание окажется неположительным или равным единице, то этот корень является посторонним и его следует отбросить. Этот способ удобен, когда нахождение ОДЗ является более трудоемкой задачей, чем само решение уравнения, или когда уравнение имеет небольшое количество корней, которые легко проверить.

3. Использование равносильных переходов. Этот метод объединяет решение и проверку. Например, уравнение вида $ \log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) $ равносильно системе:$\begin{cases}f(x) = g(x) \\f(x) > 0\end{cases}$или системе$\begin{cases}f(x) = g(x) \\g(x) > 0\end{cases}$.Здесь мы решаем уравнение $ f(x) = g(x) $ и затем проверяем выполнение только одного из неравенств ($ f(x) > 0 $ или $ g(x) > 0 $), так как из равенства $ f(x) = g(x) $ автоматически следует, что и второе выражение будет положительным. Этот подход часто упрощает вычисления.

Таким образом, строгого требования всегда начинать с нахождения ОДЗ нет, но контроль за допустимыми значениями переменной (либо через ОДЗ, либо через проверку, либо через равносильные переходы) является обязательной частью решения любого логарифмического уравнения.

Ответ: Нет, не обязательно находить ОДЗ в самом начале, но обязательно нужно убедиться, что найденные корни принадлежат области допустимых значений. Это можно сделать либо предварительным нахождением ОДЗ, либо проверкой корней подстановкой в исходное уравнение, либо с помощью равносильных преобразований.

2. Назовите общие способы решения показательных и логарифмических уравнений.

Существуют как общие методы, применимые к обоим типам уравнений, так и специфические для каждого из них.

Общие методы:

• Введение новой переменной (метод замены). Один из самых распространенных методов. Если уравнение можно привести к алгебраическому виду (например, квадратному) относительно некоторой функции, вводится новая переменная. Например, в уравнении $ 4^x - 2^x - 2 = 0 $ делается замена $ t = 2^x $, а в уравнении $ \lg^2x - \lg x - 2 = 0 $ — замена $ t = \lg x $.

• Графический метод. Строятся графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения. Метод часто используется для оценки количества корней или их приближенного нахождения.

Способы решения показательных уравнений:

• Приведение к одному основанию. Уравнение вида $ a^{f(x)} = a^{g(x)} $ (где $ a > 0, a \neq 1 $) равносильно уравнению $ f(x) = g(x) $.

• Вынесение общего множителя за скобки. Применяется в уравнениях, где есть члены с одинаковым основанием, но разными показателями. Например, $ 3^{x+2} - 3^x = 72 \Rightarrow 3^x(3^2 - 1) = 72 \Rightarrow 3^x \cdot 8 = 72 $.

• Логарифмирование обеих частей. Используется, когда основания степеней различны и их нельзя привести к одному. Например, для уравнения $ a^{f(x)} = b^{g(x)} $ можно взять логарифм от обеих частей по любому основанию.

Способы решения логарифмических уравнений:

• Использование определения логарифма (потенцирование). Уравнение вида $ \log_a(f(x)) = b $ равносильно уравнению $ f(x) = a^b $ (при этом автоматически выполняется условие $ f(x) > 0 $, так как $ a^b > 0 $).

• Приведение к одному основанию логарифмов. Уравнение вида $ \log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) $ приводится к виду $ f(x) = g(x) $ с обязательной последующей проверкой корней или учетом ОДЗ ($ f(x) > 0, g(x) > 0 $).

• Использование формулы перехода к новому основанию. Применяется, если в уравнении присутствуют логарифмы с разными основаниями. Формула: $ \log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b} $.

• Использование свойств логарифмов. Применение формул суммы, разности, произведения и частного для преобразования уравнения к более простому виду. Важно помнить, что такие преобразования могут изменять ОДЗ.

Ответ: Основные способы: введение новой переменной, графический метод, приведение к одному основанию (для показательных и логарифмических), логарифмирование (для показательных), потенцирование (для логарифмических), использование свойств функций.

3. В каких случаях значение переменной x не является решением логарифмического уравнения? Ответ обоснуйте.

Значение переменной $ x $, найденное в процессе решения, не является решением (является посторонним корнем) логарифмического уравнения, если оно не входит в область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.

Обоснование:

Логарифмическая функция $ y = \log_a(b) $ определена только при выполнении трех условий:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $ b > 0 $.

2. Основание логарифма должно быть строго больше нуля: $ a > 0 $.

3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $ a \neq 1 $.

При решении логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые могут расширить ОДЗ. Классический пример — использование свойства суммы логарифмов:$ \log_a(f(x)) + \log_a(g(x)) = \log_a(f(x) \cdot g(x)) $ОДЗ левой части уравнения определяется системой неравенств $ \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $. В то же время ОДЗ правой части определяется одним, менее строгим неравенством $ f(x) \cdot g(x) > 0 $, которое выполняется также и в случае, когда $ f(x) < 0 $ и $ g(x) < 0 $.Из-за такого расширения области определения при решении преобразованного уравнения могут появиться "посторонние" корни, которые не удовлетворяют ОДЗ исходного уравнения.

Пример:

Рассмотрим уравнение $ \log_3(x-4) + \log_3(x-2) = 1 $.

1. Найдем ОДЗ: $ \begin{cases} x-4 > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 4 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow x > 4 $.

2. Преобразуем уравнение: $ \log_3((x-4)(x-2)) = 1 $.

3. Решим полученное уравнение методом потенцирования:

$ (x-4)(x-2) = 3^1 $

$ x^2 - 6x + 8 = 3 $

$ x^2 - 6x + 5 = 0 $

По теореме Виета находим корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 5 $.

4. Проверим корни по ОДЗ ($ x > 4 $):

• $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет условию $ x > 4 $, следовательно, это посторонний корень. Если подставить $ x=1 $ в исходное уравнение, получим $ \log_3(-3) + \log_3(-1) $, что не имеет смысла.

• $ x_2 = 5 $ удовлетворяет условию $ x > 4 $, следовательно, это единственный корень уравнения.

Ответ: Значение переменной $ x $ не является решением, если при подстановке его в исходное уравнение нарушаются условия существования логарифма: аргумент становится отрицательным или равным нулю, либо основание становится отрицательным, равным нулю или единице. Это происходит, когда найденный корень не входит в область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.